Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 48156 / 51052
↖ ↑ ↗
← S 70.340927°
E 84.528808°		 ← 205.50 m → S 70.340927°
E 84.534302°		 →
↑
205.46 m
↓
↑
205.46 m
↓
S 70.342775°
E 84.528808°		 ← 205.49 m →
42 222 m²		 S 70.342775°
E 84.534302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48156 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51052 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.734809875488281 y=0.778999328613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.734809875488281 × 216)
    floor (0.734809875488281 × 65536)
    floor (48156.5)     		tx = 48156
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778999328613281 × 216)
    floor (0.778999328613281 × 65536)
    floor (51052.5)     		ty = 51052
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48156 / 51052 ti = "16/48156/51052"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48156/51052.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48156 ÷ 216
    48156 ÷ 65536     		x = 0.73480224609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51052 ÷ 216
    51052 ÷ 65536     		y = 0.77899169921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73480224609375 × 2 - 1) × π
    0.4696044921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.47530602
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77899169921875 × 2 - 1) × π
    -0.5579833984375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75295654530621
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47530602} λ = 1.47530602}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75295654530621))-π/2
    2×atan(0.17326093165859)-π/2
    2×0.171557777669507-π/2
    0.343115555339014-1.57079632675     		φ = -1.22768077
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47530602} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.528808°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22768077 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.340927°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48156 KachelY 51052 1.47530602 -1.22768077 84.528808 -70.340927
    Oben rechts KachelX + 1 48157 KachelY 51052 1.47540190 -1.22768077 84.534302 -70.340927
    Unten links KachelX 48156 KachelY + 1 51053 1.47530602 -1.22771302 84.528808 -70.342775
    Unten rechts KachelX + 1 48157 KachelY + 1 51053 1.47540190 -1.22771302 84.534302 -70.342775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22768077--1.22771302) × R
    3.22499999998449e-05 × 6371000     		dl = 205.464749999012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22768077--1.22771302) × R
    3.22499999998449e-05 × 6371000     		dr = 205.464749999012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47530602-1.47540190) × cos(-1.22768077) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.336422674565872 × 6371000     		do = 205.504288663986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47530602-1.47540190) × cos(-1.22771302) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.336392304208154 × 6371000     		du = 205.485736886027m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22768077)-sin(-1.22771302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336422674565872-0.336392304208154)×R²
    abs(1.47540190-1.47530602)×3.0370357717413e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.0370357717413e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.0370357717413e-05×40589641000000     		ar = 42221.9814294355m²