Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48142 / 58357
↖ ↑ ↗
← N 19.339654°
W 47.774048°		 ← 288.13 m → N 19.339654°
W 47.771302°		 →
↑
288.16 m
↓
↑
288.16 m
↓
N 19.337062°
W 47.774048°		 ← 288.14 m →
83 029 m²		 N 19.337062°
W 47.771302°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58357 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367298126220703 y=0.445232391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367298126220703 × 217)
    floor (0.367298126220703 × 131072)
    floor (48142.5)     		tx = 48142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445232391357422 × 217)
    floor (0.445232391357422 × 131072)
    floor (58357.5)     		ty = 58357
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48142 / 58357 ti = "17/48142/58357"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48142/58357.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48142 ÷ 217
    48142 ÷ 131072     		x = 0.367294311523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58357 ÷ 217
    58357 ÷ 131072     		y = 0.445228576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367294311523438 × 2 - 1) × π
    -0.265411376953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83381443
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445228576660156 × 2 - 1) × π
    0.109542846679688 × 3.1415926535     		Φ = 0.344139002372383
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83381443} λ = -0.83381443}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344139002372383))-π/2
    2×atan(1.41077472291244)-π/2
    2×0.954168477575164-π/2
    1.90833695515033-1.57079632675     		φ = 0.33754063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83381443} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.774048°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33754063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.339654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48142 KachelY 58357 -0.83381443 0.33754063 -47.774048 19.339654
    Oben rechts KachelX + 1 48143 KachelY 58357 -0.83376650 0.33754063 -47.771302 19.339654
    Unten links KachelX 48142 KachelY + 1 58358 -0.83381443 0.33749540 -47.774048 19.337062
    Unten rechts KachelX + 1 48143 KachelY + 1 58358 -0.83376650 0.33749540 -47.771302 19.337062
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33754063-0.33749540) × R
    4.52300000000072e-05 × 6371000     		dl = 288.160330000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33754063-0.33749540) × R
    4.52300000000072e-05 × 6371000     		dr = 288.160330000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83381443--0.83376650) × cos(0.33754063) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943571981726611 × 6371000     		do = 288.131055791337m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83381443--0.83376650) × cos(0.33749540) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.943586959467627 × 6371000     		du = 288.135629424739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33754063)-sin(0.33749540))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943571981726611-0.943586959467627)×R²
    abs(-0.83376650--0.83381443)×1.49777410156648e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.49777410156648e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.49777410156648e-05×40589641000000     		ar = 83028.5991041241m²