Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48137 / 54265
↖ ↑ ↗
← N 29.551956°
W 47.787781°		 ← 265.69 m → N 29.551956°
W 47.785034°		 →
↑
265.67 m
↓
↑
265.67 m
↓
N 29.549567°
W 47.787781°		 ← 265.70 m →
70 588 m²		 N 29.549567°
W 47.785034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367259979248047 y=0.414012908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367259979248047 × 217)
    floor (0.367259979248047 × 131072)
    floor (48137.5)     		tx = 48137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414012908935547 × 217)
    floor (0.414012908935547 × 131072)
    floor (54265.5)     		ty = 54265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48137 / 54265 ti = "17/48137/54265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48137/54265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48137 ÷ 217
    48137 ÷ 131072     		x = 0.367256164550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54265 ÷ 217
    54265 ÷ 131072     		y = 0.414009094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367256164550781 × 2 - 1) × π
    -0.265487670898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.83405412
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414009094238281 × 2 - 1) × π
    0.171981811523438 × 3.1415926535     		Φ = 0.540296795617653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83405412} λ = -0.83405412}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.540296795617653))-π/2
    2×atan(1.71651624108839)-π/2
    2×1.04328762862914-π/2
    2.08657525725828-1.57079632675     		φ = 0.51577893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83405412} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.787781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51577893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.551956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48137 KachelY 54265 -0.83405412 0.51577893 -47.787781 29.551956
    Oben rechts KachelX + 1 48138 KachelY 54265 -0.83400618 0.51577893 -47.785034 29.551956
    Unten links KachelX 48137 KachelY + 1 54266 -0.83405412 0.51573723 -47.787781 29.549567
    Unten rechts KachelX + 1 48138 KachelY + 1 54266 -0.83400618 0.51573723 -47.785034 29.549567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51577893-0.51573723) × R
    4.16999999999224e-05 × 6371000     		dl = 265.670699999505m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51577893-0.51573723) × R
    4.16999999999224e-05 × 6371000     		dr = 265.670699999505m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83405412--0.83400618) × cos(0.51577893) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.869908808149717 × 6371000     		do = 265.692541461471m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83405412--0.83400618) × cos(0.51573723) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.869929374358653 × 6371000     		du = 265.698822911054m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51577893)-sin(0.51573723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869908808149717-0.869929374358653)×R²
    abs(-0.83400618--0.83405412)×2.05662089367564e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.05662089367564e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.05662089367564e-05×40589641000000     		ar = 70587.5578835736m²