Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48135 / 60407
↖ ↑ ↗
← N 13.947396°
W 47.793274°		 ← 296.42 m → N 13.947396°
W 47.790527°		 →
↑
296.44 m
↓
↑
296.44 m
↓
N 13.944730°
W 47.793274°		 ← 296.42 m →
87 872 m²		 N 13.944730°
W 47.790527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367244720458984 y=0.460872650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367244720458984 × 217)
    floor (0.367244720458984 × 131072)
    floor (48135.5)     		tx = 48135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460872650146484 × 217)
    floor (0.460872650146484 × 131072)
    floor (60407.5)     		ty = 60407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48135 / 60407 ti = "17/48135/60407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48135/60407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48135 ÷ 217
    48135 ÷ 131072     		x = 0.367240905761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60407 ÷ 217
    60407 ÷ 131072     		y = 0.460868835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367240905761719 × 2 - 1) × π
    -0.265518188476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.83414999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460868835449219 × 2 - 1) × π
    0.0782623291015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.245868358151268
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83414999} λ = -0.83414999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.245868358151268))-π/2
    2×atan(1.27873122791844)-π/2
    2×0.907112151008695-π/2
    1.81422430201739-1.57079632675     		φ = 0.24342798
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83414999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.793274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24342798 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.947396°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48135 KachelY 60407 -0.83414999 0.24342798 -47.793274 13.947396
    Oben rechts KachelX + 1 48136 KachelY 60407 -0.83410205 0.24342798 -47.790527 13.947396
    Unten links KachelX 48135 KachelY + 1 60408 -0.83414999 0.24338145 -47.793274 13.944730
    Unten rechts KachelX + 1 48136 KachelY + 1 60408 -0.83410205 0.24338145 -47.790527 13.944730
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24342798-0.24338145) × R
    4.65299999999891e-05 × 6371000     		dl = 296.44262999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24342798-0.24338145) × R
    4.65299999999891e-05 × 6371000     		dr = 296.44262999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83414999--0.83410205) × cos(0.24342798) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970517429485108 × 6371000     		do = 296.421004083193m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83414999--0.83410205) × cos(0.24338145) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970528643604623 × 6371000     		du = 296.424429163944m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24342798)-sin(0.24338145))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970517429485108-0.970528643604623)×R²
    abs(-0.83410205--0.83414999)×1.12141195145465e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12141195145465e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12141195145465e-05×40589641000000     		ar = 87872.329723509m²