Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48135 / 60405
↖ ↑ ↗
← N 13.952727°
W 47.793274°		 ← 296.41 m → N 13.952727°
W 47.790527°		 →
↑
296.38 m
↓
↑
296.38 m
↓
N 13.950061°
W 47.793274°		 ← 296.42 m →
87 851 m²		 N 13.950061°
W 47.790527°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367244720458984 y=0.460857391357422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367244720458984 × 217)
    floor (0.367244720458984 × 131072)
    floor (48135.5)     		tx = 48135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460857391357422 × 217)
    floor (0.460857391357422 × 131072)
    floor (60405.5)     		ty = 60405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48135 / 60405 ti = "17/48135/60405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48135/60405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48135 ÷ 217
    48135 ÷ 131072     		x = 0.367240905761719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60405 ÷ 217
    60405 ÷ 131072     		y = 0.460853576660156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367240905761719 × 2 - 1) × π
    -0.265518188476562 × 3.1415926535     		Λ = -0.83414999
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460853576660156 × 2 - 1) × π
    0.0782928466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.245964231950508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83414999} λ = -0.83414999}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.245964231950508))-π/2
    2×atan(1.27885383061657)-π/2
    2×0.907158674067738-π/2
    1.81431734813548-1.57079632675     		φ = 0.24352102
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83414999} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.793274°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24352102 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.952727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48135 KachelY 60405 -0.83414999 0.24352102 -47.793274 13.952727
    Oben rechts KachelX + 1 48136 KachelY 60405 -0.83410205 0.24352102 -47.790527 13.952727
    Unten links KachelX 48135 KachelY + 1 60406 -0.83414999 0.24347450 -47.793274 13.950061
    Unten rechts KachelX + 1 48136 KachelY + 1 60406 -0.83410205 0.24347450 -47.790527 13.950061
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24352102-0.24347450) × R
    4.65199999999943e-05 × 6371000     		dl = 296.378919999964m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24352102-0.24347450) × R
    4.65199999999943e-05 × 6371000     		dr = 296.378919999964m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83414999--0.83410205) × cos(0.24352102) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970494999764899 × 6371000     		do = 296.4141534693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83414999--0.83410205) × cos(0.24347450) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970506215675145 × 6371000     		du = 296.417579096986m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24352102)-sin(0.24347450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970494999764899-0.970506215675145)×R²
    abs(-0.83410205--0.83414999)×1.12159102459986e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12159102459986e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12159102459986e-05×40589641000000     		ar = 87851.4143357302m²