Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48130 / 60422
↖ ↑ ↗
← N 13.907408°
W 47.807007°		 ← 296.41 m → N 13.907408°
W 47.804260°		 →
↑
296.44 m
↓
↑
296.44 m
↓
N 13.904742°
W 47.807007°		 ← 296.41 m →
87 869 m²		 N 13.904742°
W 47.804260°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48130 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60422 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367206573486328 y=0.460987091064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367206573486328 × 217)
    floor (0.367206573486328 × 131072)
    floor (48130.5)     		tx = 48130
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460987091064453 × 217)
    floor (0.460987091064453 × 131072)
    floor (60422.5)     		ty = 60422
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48130 / 60422 ti = "17/48130/60422"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48130/60422.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48130 ÷ 217
    48130 ÷ 131072     		x = 0.367202758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60422 ÷ 217
    60422 ÷ 131072     		y = 0.460983276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367202758789062 × 2 - 1) × π
    -0.265594482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83438967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460983276367188 × 2 - 1) × π
    0.078033447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.245149304656967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83438967} λ = -0.83438967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.245149304656967))-π/2
    2×atan(1.27781208225779)-π/2
    2×0.906763193823396-π/2
    1.81352638764679-1.57079632675     		φ = 0.24273006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83438967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.807007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24273006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.907408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48130 KachelY 60422 -0.83438967 0.24273006 -47.807007 13.907408
    Oben rechts KachelX + 1 48131 KachelY 60422 -0.83434174 0.24273006 -47.804260 13.907408
    Unten links KachelX 48130 KachelY + 1 60423 -0.83438967 0.24268353 -47.807007 13.904742
    Unten rechts KachelX + 1 48131 KachelY + 1 60423 -0.83434174 0.24268353 -47.804260 13.904742
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24273006-0.24268353) × R
    4.65299999999891e-05 × 6371000     		dl = 296.44262999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24273006-0.24268353) × R
    4.65299999999891e-05 × 6371000     		dr = 296.44262999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83438967--0.83434174) × cos(0.24273006) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.97068541342659 × 6371000     		do = 296.410468334828m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83438967--0.83434174) × cos(0.24268353) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.9706965960264 × 6371000     		du = 296.413883076206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24273006)-sin(0.24268353))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97068541342659-0.9706965960264)×R²
    abs(-0.83434174--0.83438967)×1.11825998097004e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.11825998097004e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.11825998097004e-05×40589641000000     		ar = 87869.204945955m²