Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4813 / 3597
↖ ↑ ↗
← N 21.412162°
E 31.508789°		 ← 4 549.22 m → N 21.412162°
E 31.552734°		 →
↑
4 549.85 m
↓
↑
4 549.85 m
↓
N 21.371244°
E 31.508789°		 ← 4 550.49 m →
20 701 161 m²		 N 21.371244°
E 31.552734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3597 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58758544921875 y=0.43914794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58758544921875 × 213)
    floor (0.58758544921875 × 8192)
    floor (4813.5)     		tx = 4813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43914794921875 × 213)
    floor (0.43914794921875 × 8192)
    floor (3597.5)     		ty = 3597
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4813 / 3597 ti = "13/4813/3597"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4813/3597.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4813 ÷ 213
    4813 ÷ 8192     		x = 0.5875244140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3597 ÷ 213
    3597 ÷ 8192     		y = 0.4390869140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5875244140625 × 2 - 1) × π
    0.175048828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.54993211
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4390869140625 × 2 - 1) × π
    0.121826171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.382728206566528
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54993211} λ = 0.54993211}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.382728206566528))-π/2
    2×atan(1.46627945077888)-π/2
    2×0.972254528832296-π/2
    1.94450905766459-1.57079632675     		φ = 0.37371273
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54993211} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.508789°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37371273 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.412162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4813 KachelY 3597 0.54993211 0.37371273 31.508789 21.412162
    Oben rechts KachelX + 1 4814 KachelY 3597 0.55069910 0.37371273 31.552734 21.412162
    Unten links KachelX 4813 KachelY + 1 3598 0.54993211 0.37299858 31.508789 21.371244
    Unten rechts KachelX + 1 4814 KachelY + 1 3598 0.55069910 0.37299858 31.552734 21.371244
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37371273-0.37299858) × R
    0.000714149999999969 × 6371000     		dl = 4549.8496499998m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37371273-0.37299858) × R
    0.000714149999999969 × 6371000     		dr = 4549.8496499998m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54993211-0.55069910) × cos(0.37371273) × R
    0.000766990000000023 × 0.930978342465356 × 6371000     		do = 4549.21942359242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54993211-0.55069910) × cos(0.37299858) × R
    0.000766990000000023 × 0.931238822929872 × 6371000     		du = 4550.49225963445m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37371273)-sin(0.37299858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930978342465356-0.931238822929872)×R²
    abs(0.55069910-0.54993211)×0.000260480464515433×R²
    0.000766990000000023×0.000260480464515433×6371000²
    0.000766990000000023×0.000260480464515433×40589641000000     		ar = 20701160.8883315m²