Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4813 / 2925
↖ ↑ ↗
← N 81.339808°
W127.122803°		 ← 183.95 m → N 81.339808°
W127.111816°		 →
↑
183.99 m
↓
↑
183.99 m
↓
N 81.338154°
W127.122803°		 ← 183.98 m →
33 848 m²		 N 81.338154°
W127.111816°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 2925 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146896362304688 y=0.0892791748046875 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146896362304688 × 215)
    floor (0.146896362304688 × 32768)
    floor (4813.5)     		tx = 4813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0892791748046875 × 215)
    floor (0.0892791748046875 × 32768)
    floor (2925.5)     		ty = 2925
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4813 / 2925 ti = "15/4813/2925"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4813/2925.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4813 ÷ 215
    4813 ÷ 32768     		x = 0.146881103515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 2925 ÷ 215
    2925 ÷ 32768     		y = 0.089263916015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146881103515625 × 2 - 1) × π
    -0.70623779296875 × 3.1415926535     		Λ = -2.21871146
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089263916015625 × 2 - 1) × π
    0.82147216796875 × 3.1415926535     		Φ = 2.58073092794534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21871146} λ = -2.21871146}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.58073092794534))-π/2
    2×atan(13.2067878429198)-π/2
    2×1.4952218983155-π/2
    2.990443796631-1.57079632675     		φ = 1.41964747
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21871146} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.122803°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41964747 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.339808°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4813 KachelY 2925 -2.21871146 1.41964747 -127.122803 81.339808
    Oben rechts KachelX + 1 4814 KachelY 2925 -2.21851971 1.41964747 -127.111816 81.339808
    Unten links KachelX 4813 KachelY + 1 2926 -2.21871146 1.41961859 -127.122803 81.338154
    Unten rechts KachelX + 1 4814 KachelY + 1 2926 -2.21851971 1.41961859 -127.111816 81.338154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41964747-1.41961859) × R
    2.88799999998979e-05 × 6371000     		dl = 183.994479999349m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41964747-1.41961859) × R
    2.88799999998979e-05 × 6371000     		dr = 183.994479999349m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21871146--2.21851971) × cos(1.41964747) × R
    0.000191750000000379 × 0.15057398997561 × 6371000     		do = 183.947096183675m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21871146--2.21851971) × cos(1.41961859) × R
    0.000191750000000379 × 0.150602540644494 × 6371000     		du = 183.981974801397m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41964747)-sin(1.41961859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.15057398997561-0.150602540644494)×R²
    abs(-2.21851971--2.21871146)×2.85506688839643e-05×R²
    0.000191750000000379×2.85506688839643e-05×6371000²
    0.000191750000000379×2.85506688839643e-05×40589641000000     		ar = 33848.459048291m²