Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48126 / 60434
↖ ↑ ↗
← N 13.875413°
W 47.817993°		 ← 296.45 m → N 13.875413°
W 47.815247°		 →
↑
296.51 m
↓
↑
296.51 m
↓
N 13.872746°
W 47.817993°		 ← 296.45 m →
87 900 m²		 N 13.872746°
W 47.815247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367176055908203 y=0.461078643798828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367176055908203 × 217)
    floor (0.367176055908203 × 131072)
    floor (48126.5)     		tx = 48126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461078643798828 × 217)
    floor (0.461078643798828 × 131072)
    floor (60434.5)     		ty = 60434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48126 / 60434 ti = "17/48126/60434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48126/60434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48126 ÷ 217
    48126 ÷ 131072     		x = 0.367172241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60434 ÷ 217
    60434 ÷ 131072     		y = 0.461074829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367172241210938 × 2 - 1) × π
    -0.265655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83458142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461074829101562 × 2 - 1) × π
    0.077850341796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.244574061861526
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83458142} λ = -0.83458142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244574061861526))-π/2
    2×atan(1.27707724143975)-π/2
    2×0.906483984641092-π/2
    1.81296796928218-1.57079632675     		φ = 0.24217164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83458142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24217164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.875413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48126 KachelY 60434 -0.83458142 0.24217164 -47.817993 13.875413
    Oben rechts KachelX + 1 48127 KachelY 60434 -0.83453349 0.24217164 -47.815247 13.875413
    Unten links KachelX 48126 KachelY + 1 60435 -0.83458142 0.24212510 -47.817993 13.872746
    Unten rechts KachelX + 1 48127 KachelY + 1 60435 -0.83453349 0.24212510 -47.815247 13.872746
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24217164-0.24212510) × R
    4.65399999999838e-05 × 6371000     		dl = 296.506339999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24217164-0.24212510) × R
    4.65399999999838e-05 × 6371000     		dr = 296.506339999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83458142--0.83453349) × cos(0.24217164) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.970819480302215 × 6371000     		do = 296.451407268811m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83458142--0.83453349) × cos(0.24212510) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.970830640076207 × 6371000     		du = 296.454815040051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24217164)-sin(0.24212510))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970819480302215-0.970830640076207)×R²
    abs(-0.83453349--0.83458142)×1.11597739915759e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.11597739915759e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.11597739915759e-05×40589641000000     		ar = 87900.2269858496m²