Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48126 / 60415
↖ ↑ ↗
← N 13.926070°
W 47.817993°		 ← 296.39 m → N 13.926070°
W 47.815247°		 →
↑
296.44 m
↓
↑
296.44 m
↓
N 13.923404°
W 47.817993°		 ← 296.39 m →
87 862 m²		 N 13.923404°
W 47.815247°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60415 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367176055908203 y=0.460933685302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367176055908203 × 217)
    floor (0.367176055908203 × 131072)
    floor (48126.5)     		tx = 48126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460933685302734 × 217)
    floor (0.460933685302734 × 131072)
    floor (60415.5)     		ty = 60415
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48126 / 60415 ti = "17/48126/60415"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48126/60415.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48126 ÷ 217
    48126 ÷ 131072     		x = 0.367172241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60415 ÷ 217
    60415 ÷ 131072     		y = 0.460929870605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367172241210938 × 2 - 1) × π
    -0.265655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83458142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460929870605469 × 2 - 1) × π
    0.0781402587890625 × 3.1415926535     		Φ = 0.245484862954308
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83458142} λ = -0.83458142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.245484862954308))-π/2
    2×atan(1.2782409346529)-π/2
    2×0.906926048025375-π/2
    1.81385209605075-1.57079632675     		φ = 0.24305577
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83458142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24305577 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.926070°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48126 KachelY 60415 -0.83458142 0.24305577 -47.817993 13.926070
    Oben rechts KachelX + 1 48127 KachelY 60415 -0.83453349 0.24305577 -47.815247 13.926070
    Unten links KachelX 48126 KachelY + 1 60416 -0.83458142 0.24300924 -47.817993 13.923404
    Unten rechts KachelX + 1 48127 KachelY + 1 60416 -0.83453349 0.24300924 -47.815247 13.923404
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24305577-0.24300924) × R
    4.65300000000168e-05 × 6371000     		dl = 296.442630000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24305577-0.24300924) × R
    4.65300000000168e-05 × 6371000     		dr = 296.442630000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83458142--0.83453349) × cos(0.24305577) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.970607076385217 × 6371000     		do = 296.386547177536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83458142--0.83453349) × cos(0.24300924) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.970618273695534 × 6371000     		du = 296.389966410945m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24305577)-sin(0.24300924))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970607076385217-0.970618273695534)×R²
    abs(-0.83453349--0.83458142)×1.1197310316291e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.1197310316291e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.1197310316291e-05×40589641000000     		ar = 87862.1143611274m²