Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48124 / 54260
↖ ↑ ↗
← N 29.563901°
W 47.823487°		 ← 265.66 m → N 29.563901°
W 47.820740°		 →
↑
265.61 m
↓
↑
265.61 m
↓
N 29.561513°
W 47.823487°		 ← 265.67 m →
70 562 m²		 N 29.561513°
W 47.820740°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54260 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367160797119141 y=0.413974761962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367160797119141 × 217)
    floor (0.367160797119141 × 131072)
    floor (48124.5)     		tx = 48124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.413974761962891 × 217)
    floor (0.413974761962891 × 131072)
    floor (54260.5)     		ty = 54260
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48124 / 54260 ti = "17/48124/54260"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48124/54260.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48124 ÷ 217
    48124 ÷ 131072     		x = 0.367156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54260 ÷ 217
    54260 ÷ 131072     		y = 0.413970947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367156982421875 × 2 - 1) × π
    -0.26568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83467730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.413970947265625 × 2 - 1) × π
    0.17205810546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.540536480115753
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83467730} λ = -0.83467730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.540536480115753))-π/2
    2×atan(1.71692771273183)-π/2
    2×1.04339187429455-π/2
    2.0867837485891-1.57079632675     		φ = 0.51598742
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83467730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.823487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51598742 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.563901°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48124 KachelY 54260 -0.83467730 0.51598742 -47.823487 29.563901
    Oben rechts KachelX + 1 48125 KachelY 54260 -0.83462936 0.51598742 -47.820740 29.563901
    Unten links KachelX 48124 KachelY + 1 54261 -0.83467730 0.51594573 -47.823487 29.561513
    Unten rechts KachelX + 1 48125 KachelY + 1 54261 -0.83462936 0.51594573 -47.820740 29.561513
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51598742-0.51594573) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dl = 265.606989999893m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51598742-0.51594573) × R
    4.16899999999831e-05 × 6371000     		dr = 265.606989999893m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83467730--0.83462936) × cos(0.51598742) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.869805959349551 × 6371000     		do = 265.661128790572m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83467730--0.83462936) × cos(0.51594573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.869826528187569 × 6371000     		du = 265.667411043145m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51598742)-sin(0.51594573))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869805959349551-0.869826528187569)×R²
    abs(-0.83462936--0.83467730)×2.05688380182645e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.05688380182645e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.05688380182645e-05×40589641000000     		ar = 70562.2870934039m²