Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48122 / 60418
↖ ↑ ↗
← N 13.918072°
W 47.828979°		 ← 296.46 m → N 13.918072°
W 47.826233°		 →
↑
296.44 m
↓
↑
296.44 m
↓
N 13.915406°
W 47.828979°		 ← 296.46 m →
87 883 m²		 N 13.915406°
W 47.826233°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60418 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367145538330078 y=0.460956573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367145538330078 × 217)
    floor (0.367145538330078 × 131072)
    floor (48122.5)     		tx = 48122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460956573486328 × 217)
    floor (0.460956573486328 × 131072)
    floor (60418.5)     		ty = 60418
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48122 / 60418 ti = "17/48122/60418"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48122/60418.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48122 ÷ 217
    48122 ÷ 131072     		x = 0.367141723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60418 ÷ 217
    60418 ÷ 131072     		y = 0.460952758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367141723632812 × 2 - 1) × π
    -0.265716552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83477317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460952758789062 × 2 - 1) × π
    0.078094482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.245341052255447
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83477317} λ = -0.83477317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.245341052255447))-π/2
    2×atan(1.27805712314812)-π/2
    2×0.90685625497681-π/2
    1.81371250995362-1.57079632675     		φ = 0.24291618
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83477317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.828979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24291618 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.918072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48122 KachelY 60418 -0.83477317 0.24291618 -47.828979 13.918072
    Oben rechts KachelX + 1 48123 KachelY 60418 -0.83472523 0.24291618 -47.826233 13.918072
    Unten links KachelX 48122 KachelY + 1 60419 -0.83477317 0.24286965 -47.828979 13.915406
    Unten rechts KachelX + 1 48123 KachelY + 1 60419 -0.83472523 0.24286965 -47.826233 13.915406
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24291618-0.24286965) × R
    4.65300000000168e-05 × 6371000     		dl = 296.442630000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24291618-0.24286965) × R
    4.65300000000168e-05 × 6371000     		dr = 296.442630000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83477317--0.83472523) × cos(0.24291618) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970640662011857 × 6371000     		do = 296.458642468867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83477317--0.83472523) × cos(0.24286965) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970651853017816 × 6371000     		du = 296.462060490143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24291618)-sin(0.24286965))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970640662011857-0.970651853017816)×R²
    abs(-0.83472523--0.83477317)×1.11910059589215e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.11910059589215e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.11910059589215e-05×40589641000000     		ar = 87883.4862992218m²