Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48119 / 85003
↖ ↑ ↗
← S 47.060767°
W 47.837219°		 ← 208.06 m → S 47.060767°
W 47.834472°		 →
↑
208.08 m
↓
↑
208.08 m
↓
S 47.062639°
W 47.837219°		 ← 208.06 m →
43 292 m²		 S 47.062639°
W 47.834472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85003 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367122650146484 y=0.648525238037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367122650146484 × 217)
    floor (0.367122650146484 × 131072)
    floor (48119.5)     		tx = 48119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648525238037109 × 217)
    floor (0.648525238037109 × 131072)
    floor (85003.5)     		ty = 85003
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48119 / 85003 ti = "17/48119/85003"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48119/85003.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48119 ÷ 217
    48119 ÷ 131072     		x = 0.367118835449219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85003 ÷ 217
    85003 ÷ 131072     		y = 0.648521423339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367118835449219 × 2 - 1) × π
    -0.265762329101562 × 3.1415926535     		Λ = -0.83491698
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648521423339844 × 2 - 1) × π
    -0.297042846679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.933187624903633
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83491698} λ = -0.83491698}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933187624903633))-π/2
    2×atan(0.393298023531169)-π/2
    2×0.374715492887249-π/2
    0.749430985774498-1.57079632675     		φ = -0.82136534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83491698} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.837219°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82136534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.060767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48119 KachelY 85003 -0.83491698 -0.82136534 -47.837219 -47.060767
    Oben rechts KachelX + 1 48120 KachelY 85003 -0.83486904 -0.82136534 -47.834472 -47.060767
    Unten links KachelX 48119 KachelY + 1 85004 -0.83491698 -0.82139800 -47.837219 -47.062639
    Unten rechts KachelX + 1 48120 KachelY + 1 85004 -0.83486904 -0.82139800 -47.834472 -47.062639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82136534--0.82139800) × R
    3.26599999999067e-05 × 6371000     		dl = 208.076859999405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82136534--0.82139800) × R
    3.26599999999067e-05 × 6371000     		dr = 208.076859999405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83491698--0.83486904) × cos(-0.82136534) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.681222309068243 × 6371000     		do = 208.062827852022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83491698--0.83486904) × cos(-0.82139800) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.681198399082782 × 6371000     		du = 208.055525127019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82136534)-sin(-0.82139800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681222309068243-0.681198399082782)×R²
    abs(-0.83486904--0.83491698)×2.39099854605351e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39099854605351e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39099854605351e-05×40589641000000     		ar = 43292.3001419342m²