Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48117 / 85002
↖ ↑ ↗
← S 47.058896°
W 47.842712°		 ← 208.03 m → S 47.058896°
W 47.839966°		 →
↑
208.08 m
↓
↑
208.08 m
↓
S 47.060767°
W 47.842712°		 ← 208.02 m →
43 285 m²		 S 47.060767°
W 47.839966°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48117 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367107391357422 y=0.648517608642578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367107391357422 × 217)
    floor (0.367107391357422 × 131072)
    floor (48117.5)     		tx = 48117
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648517608642578 × 217)
    floor (0.648517608642578 × 131072)
    floor (85002.5)     		ty = 85002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48117 / 85002 ti = "17/48117/85002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48117/85002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48117 ÷ 217
    48117 ÷ 131072     		x = 0.367103576660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85002 ÷ 217
    85002 ÷ 131072     		y = 0.648513793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367103576660156 × 2 - 1) × π
    -0.265792846679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.83501285
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648513793945312 × 2 - 1) × π
    -0.297027587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.933139688004013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83501285} λ = -0.83501285}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933139688004013))-π/2
    2×atan(0.39331687747094)-π/2
    2×0.374731821016456-π/2
    0.749463642032912-1.57079632675     		φ = -0.82133268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83501285} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.842712°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82133268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.058896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48117 KachelY 85002 -0.83501285 -0.82133268 -47.842712 -47.058896
    Oben rechts KachelX + 1 48118 KachelY 85002 -0.83496492 -0.82133268 -47.839966 -47.058896
    Unten links KachelX 48117 KachelY + 1 85003 -0.83501285 -0.82136534 -47.842712 -47.060767
    Unten rechts KachelX + 1 48118 KachelY + 1 85003 -0.83496492 -0.82136534 -47.839966 -47.060767
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82133268--0.82136534) × R
    3.26600000000177e-05 × 6371000     		dl = 208.076860000113m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82133268--0.82136534) × R
    3.26600000000177e-05 × 6371000     		dr = 208.076860000113m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83501285--0.83496492) × cos(-0.82133268) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.68124621832706 × 6371000     		do = 208.026728158302m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83501285--0.83496492) × cos(-0.82136534) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681222309068243 × 6371000     		du = 208.019427178493m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82133268)-sin(-0.82136534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68124621832706-0.681222309068243)×R²
    abs(-0.83496492--0.83501285)×2.39092588173451e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39092588173451e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39092588173451e-05×40589641000000     		ar = 43284.788812553m²