Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48115 / 85004
↖ ↑ ↗
← S 47.062639°
W 47.848206°		 ← 208.06 m → S 47.062639°
W 47.845459°		 →
↑
208.01 m
↓
↑
208.01 m
↓
S 47.064509°
W 47.848206°		 ← 208.05 m →
43 278 m²		 S 47.064509°
W 47.845459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367092132568359 y=0.648532867431641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367092132568359 × 217)
    floor (0.367092132568359 × 131072)
    floor (48115.5)     		tx = 48115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648532867431641 × 217)
    floor (0.648532867431641 × 131072)
    floor (85004.5)     		ty = 85004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48115 / 85004 ti = "17/48115/85004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48115/85004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48115 ÷ 217
    48115 ÷ 131072     		x = 0.367088317871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85004 ÷ 217
    85004 ÷ 131072     		y = 0.648529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367088317871094 × 2 - 1) × π
    -0.265823364257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.83510873
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648529052734375 × 2 - 1) × π
    -0.29705810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.933235561803253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83510873} λ = -0.83510873}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933235561803253))-π/2
    2×atan(0.393279170495176)-π/2
    2×0.374699165331042-π/2
    0.749398330662085-1.57079632675     		φ = -0.82139800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83510873} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.848206°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82139800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.062639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48115 KachelY 85004 -0.83510873 -0.82139800 -47.848206 -47.062639
    Oben rechts KachelX + 1 48116 KachelY 85004 -0.83506079 -0.82139800 -47.845459 -47.062639
    Unten links KachelX 48115 KachelY + 1 85005 -0.83510873 -0.82143065 -47.848206 -47.064509
    Unten rechts KachelX + 1 48116 KachelY + 1 85005 -0.83506079 -0.82143065 -47.845459 -47.064509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82139800--0.82143065) × R
    3.26500000000784e-05 × 6371000     		dl = 208.0131500005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82139800--0.82143065) × R
    3.26500000000784e-05 × 6371000     		dr = 208.0131500005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83510873--0.83506079) × cos(-0.82139800) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681198399082782 × 6371000     		do = 208.055525126538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83510873--0.83506079) × cos(-0.82143065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681174495691915 × 6371000     		du = 208.048224415693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82139800)-sin(-0.82143065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681198399082782-0.681174495691915)×R²
    abs(-0.83506079--0.83510873)×2.39033908673303e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39033908673303e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39033908673303e-05×40589641000000     		ar = 43277.5258384956m²