Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48113 / 54449
↖ ↑ ↗
← N 29.111376°
W 47.853699°		 ← 266.79 m → N 29.111376°
W 47.850952°		 →
↑
266.82 m
↓
↑
266.82 m
↓
N 29.108976°
W 47.853699°		 ← 266.79 m →
71 184 m²		 N 29.108976°
W 47.850952°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54449 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367076873779297 y=0.415416717529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367076873779297 × 217)
    floor (0.367076873779297 × 131072)
    floor (48113.5)     		tx = 48113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415416717529297 × 217)
    floor (0.415416717529297 × 131072)
    floor (54449.5)     		ty = 54449
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48113 / 54449 ti = "17/48113/54449"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48113/54449.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48113 ÷ 217
    48113 ÷ 131072     		x = 0.367073059082031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54449 ÷ 217
    54449 ÷ 131072     		y = 0.415412902832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367073059082031 × 2 - 1) × π
    -0.265853881835938 × 3.1415926535     		Λ = -0.83520460
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.415412902832031 × 2 - 1) × π
    0.169174194335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.531476406087563
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83520460} λ = -0.83520460}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.531476406087563))-π/2
    2×atan(1.70144247517798)-π/2
    2×1.03944284214955-π/2
    2.07888568429911-1.57079632675     		φ = 0.50808936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83520460} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.853699°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.50808936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.111376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48113 KachelY 54449 -0.83520460 0.50808936 -47.853699 29.111376
    Oben rechts KachelX + 1 48114 KachelY 54449 -0.83515667 0.50808936 -47.850952 29.111376
    Unten links KachelX 48113 KachelY + 1 54450 -0.83520460 0.50804748 -47.853699 29.108976
    Unten rechts KachelX + 1 48114 KachelY + 1 54450 -0.83515667 0.50804748 -47.850952 29.108976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.50808936-0.50804748) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dl = 266.817480000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.50808936-0.50804748) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dr = 266.817480000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83520460--0.83515667) × cos(0.50808936) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.873675645057083 × 6371000     		do = 266.787368535736m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83520460--0.83515667) × cos(0.50804748) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.873696019281793 × 6371000     		du = 266.793590050353m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.50808936)-sin(0.50804748))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873675645057083-0.873696019281793)×R²
    abs(-0.83515667--0.83520460)×2.0374224710018e-05×R²
    4.79299999999183e-05×2.0374224710018e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×2.0374224710018e-05×40589641000000     		ar = 71184.3633834606m²