Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48112 / 84984
↖ ↑ ↗
← S 47.025206°
W 47.856445°		 ← 208.20 m → S 47.025206°
W 47.853699°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
S 47.027078°
W 47.856445°		 ← 208.19 m →
43 334 m²		 S 47.027078°
W 47.853699°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84984 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367069244384766 y=0.648380279541016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367069244384766 × 217)
    floor (0.367069244384766 × 131072)
    floor (48112.5)     		tx = 48112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648380279541016 × 217)
    floor (0.648380279541016 × 131072)
    floor (84984.5)     		ty = 84984
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48112 / 84984 ti = "17/48112/84984"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48112/84984.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48112 ÷ 217
    48112 ÷ 131072     		x = 0.3670654296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84984 ÷ 217
    84984 ÷ 131072     		y = 0.64837646484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3670654296875 × 2 - 1) × π
    -0.265869140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83525254
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.64837646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2967529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.932276823810852
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83525254} λ = -0.83525254}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932276823810852))-π/2
    2×atan(0.393656402982213)-π/2
    2×0.375025825328399-π/2
    0.750051650656798-1.57079632675     		φ = -0.82074468
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83525254} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.856445°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82074468 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.025206°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48112 KachelY 84984 -0.83525254 -0.82074468 -47.856445 -47.025206
    Oben rechts KachelX + 1 48113 KachelY 84984 -0.83520460 -0.82074468 -47.853699 -47.025206
    Unten links KachelX 48112 KachelY + 1 84985 -0.83525254 -0.82077735 -47.856445 -47.027078
    Unten rechts KachelX + 1 48113 KachelY + 1 84985 -0.83520460 -0.82077735 -47.853699 -47.027078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82074468--0.82077735) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dl = 208.140569999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82074468--0.82077735) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dr = 208.140569999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83525254--0.83520460) × cos(-0.82074468) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.681676548499157 × 6371000     		do = 208.201564266347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83525254--0.83520460) × cos(-0.82077735) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.681652645010191 × 6371000     		du = 208.19426352554m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82074468)-sin(-0.82077735))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681676548499157-0.681652645010191)×R²
    abs(-0.83520460--0.83525254)×2.39034889668588e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39034889668588e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39034889668588e-05×40589641000000     		ar = 43334.4324747898m²