Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48111 / 60409
↖ ↑ ↗
← N 13.942064°
W 47.859192°		 ← 296.43 m → N 13.942064°
W 47.856445°		 →
↑
296.44 m
↓
↑
296.44 m
↓
N 13.939399°
W 47.859192°		 ← 296.43 m →
87 874 m²		 N 13.939399°
W 47.856445°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367061614990234 y=0.460887908935547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367061614990234 × 217)
    floor (0.367061614990234 × 131072)
    floor (48111.5)     		tx = 48111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460887908935547 × 217)
    floor (0.460887908935547 × 131072)
    floor (60409.5)     		ty = 60409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48111 / 60409 ti = "17/48111/60409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48111/60409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48111 ÷ 217
    48111 ÷ 131072     		x = 0.367057800292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60409 ÷ 217
    60409 ÷ 131072     		y = 0.460884094238281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367057800292969 × 2 - 1) × π
    -0.265884399414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.83530048
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460884094238281 × 2 - 1) × π
    0.0782318115234375 × 3.1415926535     		Φ = 0.245772484352028
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83530048} λ = -0.83530048}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.245772484352028))-π/2
    2×atan(1.27860863697414)-π/2
    2×0.90706562687456-π/2
    1.81413125374912-1.57079632675     		φ = 0.24333493
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83530048} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.859192°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24333493 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.942064°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48111 KachelY 60409 -0.83530048 0.24333493 -47.859192 13.942064
    Oben rechts KachelX + 1 48112 KachelY 60409 -0.83525254 0.24333493 -47.856445 13.942064
    Unten links KachelX 48111 KachelY + 1 60410 -0.83530048 0.24328840 -47.859192 13.939399
    Unten rechts KachelX + 1 48112 KachelY + 1 60410 -0.83525254 0.24328840 -47.856445 13.939399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24333493-0.24328840) × R
    4.65300000000168e-05 × 6371000     		dl = 296.442630000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24333493-0.24328840) × R
    4.65300000000168e-05 × 6371000     		dr = 296.442630000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83530048--0.83525254) × cos(0.24333493) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970539853213497 × 6371000     		do = 296.427852867029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83530048--0.83525254) × cos(0.24328840) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97055106313097 × 6371000     		du = 296.431276664369m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24333493)-sin(0.24328840))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970539853213497-0.97055106313097)×R²
    abs(-0.83525254--0.83530048)×1.12099174734981e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.12099174734981e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.12099174734981e-05×40589641000000     		ar = 87874.3598047795m²