Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 4811 / 1603
↖ ↑ ↗
← N 83.273846°
W127.144776°		 ← 143.08 m → N 83.273846°
W127.133789°		 →
↑
143.09 m
↓
↑
143.09 m
↓
N 83.272559°
W127.144776°		 ← 143.11 m →
20 476 m²		 N 83.272559°
W127.133789°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1603 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.146835327148438 y=0.0489349365234375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.146835327148438 × 215)
    floor (0.146835327148438 × 32768)
    floor (4811.5)     		tx = 4811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0489349365234375 × 215)
    floor (0.0489349365234375 × 32768)
    floor (1603.5)     		ty = 1603
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 4811 / 1603 ti = "15/4811/1603"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/4811/1603.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4811 ÷ 215
    4811 ÷ 32768     		x = 0.146820068359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1603 ÷ 215
    1603 ÷ 32768     		y = 0.048919677734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.146820068359375 × 2 - 1) × π
    -0.70635986328125 × 3.1415926535     		Λ = -2.21909496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.048919677734375 × 2 - 1) × π
    0.90216064453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.8342212531362
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21909496} λ = -2.21909496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.8342212531362))-π/2
    2×atan(17.0171430922476)-π/2
    2×1.51209955884382-π/2
    3.02419911768763-1.57079632675     		φ = 1.45340279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21909496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -127.144776°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.45340279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 83.273846°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4811 KachelY 1603 -2.21909496 1.45340279 -127.144776 83.273846
    Oben rechts KachelX + 1 4812 KachelY 1603 -2.21890321 1.45340279 -127.133789 83.273846
    Unten links KachelX 4811 KachelY + 1 1604 -2.21909496 1.45338033 -127.144776 83.272559
    Unten rechts KachelX + 1 4812 KachelY + 1 1604 -2.21890321 1.45338033 -127.133789 83.272559
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.45340279-1.45338033) × R
    2.24599999998354e-05 × 6371000     		dl = 143.092659998951m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.45340279-1.45338033) × R
    2.24599999998354e-05 × 6371000     		dr = 143.092659998951m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21909496--2.21890321) × cos(1.45340279) × R
    0.000191749999999935 × 0.117124084398652 × 6371000     		do = 143.083378621657m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21909496--2.21890321) × cos(1.45338033) × R
    0.000191749999999935 × 0.117146389783409 × 6371000     		du = 143.110627755163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.45340279)-sin(1.45338033))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.117124084398652-0.117146389783409)×R²
    abs(-2.21890321--2.21909496)×2.230538475749e-05×R²
    0.000191749999999935×2.230538475749e-05×6371000²
    0.000191749999999935×2.230538475749e-05×40589641000000     		ar = 20476.1308248015m²