Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48109 / 84983
↖ ↑ ↗
← S 47.023334°
W 47.864685°		 ← 208.21 m → S 47.023334°
W 47.861938°		 →
↑
208.20 m
↓
↑
208.20 m
↓
S 47.025206°
W 47.864685°		 ← 208.20 m →
43 349 m²		 S 47.025206°
W 47.861938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48109 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367046356201172 y=0.648372650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367046356201172 × 217)
    floor (0.367046356201172 × 131072)
    floor (48109.5)     		tx = 48109
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648372650146484 × 217)
    floor (0.648372650146484 × 131072)
    floor (84983.5)     		ty = 84983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48109 / 84983 ti = "17/48109/84983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48109/84983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48109 ÷ 217
    48109 ÷ 131072     		x = 0.367042541503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84983 ÷ 217
    84983 ÷ 131072     		y = 0.648368835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367042541503906 × 2 - 1) × π
    -0.265914916992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.83539635
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648368835449219 × 2 - 1) × π
    -0.296737670898438 × 3.1415926535     		Φ = -0.932228886911232
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83539635} λ = -0.83539635}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932228886911232))-π/2
    2×atan(0.393675274101996)-π/2
    2×0.375042164345132-π/2
    0.750084328690265-1.57079632675     		φ = -0.82071200
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83539635} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.864685°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82071200 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.023334°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48109 KachelY 84983 -0.83539635 -0.82071200 -47.864685 -47.023334
    Oben rechts KachelX + 1 48110 KachelY 84983 -0.83534841 -0.82071200 -47.861938 -47.023334
    Unten links KachelX 48109 KachelY + 1 84984 -0.83539635 -0.82074468 -47.864685 -47.025206
    Unten rechts KachelX + 1 48110 KachelY + 1 84984 -0.83534841 -0.82074468 -47.861938 -47.025206
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82071200--0.82074468) × R
    3.26800000000071e-05 × 6371000     		dl = 208.204280000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82071200--0.82074468) × R
    3.26800000000071e-05 × 6371000     		dr = 208.204280000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83539635--0.83534841) × cos(-0.82071200) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681700458576865 × 6371000     		do = 208.208867019042m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83539635--0.83534841) × cos(-0.82074468) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681676548499157 × 6371000     		du = 208.201564265865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82071200)-sin(-0.82074468))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681700458576865-0.681676548499157)×R²
    abs(-0.83534841--0.83539635)×2.3910077707745e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3910077707745e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3910077707745e-05×40589641000000     		ar = 43349.2170191516m²