Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48107 / 85011
↖ ↑ ↗
← S 47.075734°
W 47.870178°		 ← 207.96 m → S 47.075734°
W 47.867432°		 →
↑
208.01 m
↓
↑
208.01 m
↓
S 47.077604°
W 47.870178°		 ← 207.95 m →
43 258 m²		 S 47.077604°
W 47.867432°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85011 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367031097412109 y=0.648586273193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367031097412109 × 217)
    floor (0.367031097412109 × 131072)
    floor (48107.5)     		tx = 48107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648586273193359 × 217)
    floor (0.648586273193359 × 131072)
    floor (85011.5)     		ty = 85011
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48107 / 85011 ti = "17/48107/85011"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48107/85011.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48107 ÷ 217
    48107 ÷ 131072     		x = 0.367027282714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85011 ÷ 217
    85011 ÷ 131072     		y = 0.648582458496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367027282714844 × 2 - 1) × π
    -0.265945434570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.83549222
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648582458496094 × 2 - 1) × π
    -0.297164916992188 × 3.1415926535     		Φ = -0.933571120100594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83549222} λ = -0.83549222}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933571120100594))-π/2
    2×atan(0.393147224545363)-π/2
    2×0.374584888481394-π/2
    0.749169776962789-1.57079632675     		φ = -0.82162655
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83549222} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.870178°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82162655 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.075734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48107 KachelY 85011 -0.83549222 -0.82162655 -47.870178 -47.075734
    Oben rechts KachelX + 1 48108 KachelY 85011 -0.83544429 -0.82162655 -47.867432 -47.075734
    Unten links KachelX 48107 KachelY + 1 85012 -0.83549222 -0.82165920 -47.870178 -47.077604
    Unten rechts KachelX + 1 48108 KachelY + 1 85012 -0.83544429 -0.82165920 -47.867432 -47.077604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82162655--0.82165920) × R
    3.26500000000784e-05 × 6371000     		dl = 208.0131500005m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82162655--0.82165920) × R
    3.26500000000784e-05 × 6371000     		dr = 208.0131500005m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83549222--0.83544429) × cos(-0.82162655) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681031060098509 × 6371000     		do = 207.96102700486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83549222--0.83544429) × cos(-0.82165920) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681007151625145 × 6371000     		du = 207.9537262649m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82162655)-sin(-0.82165920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681031060098509-0.681007151625145)×R²
    abs(-0.83544429--0.83549222)×2.3908473363532e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3908473363532e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3908473363532e-05×40589641000000     		ar = 43257.8689836905m²