Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48106 / 84990
↖ ↑ ↗
← S 47.036438°
W 47.872925°		 ← 208.16 m → S 47.036438°
W 47.870178°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
S 47.038310°
W 47.872925°		 ← 208.15 m →
43 325 m²		 S 47.038310°
W 47.870178°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84990 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367023468017578 y=0.648426055908203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367023468017578 × 217)
    floor (0.367023468017578 × 131072)
    floor (48106.5)     		tx = 48106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648426055908203 × 217)
    floor (0.648426055908203 × 131072)
    floor (84990.5)     		ty = 84990
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48106 / 84990 ti = "17/48106/84990"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48106/84990.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48106 ÷ 217
    48106 ÷ 131072     		x = 0.367019653320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84990 ÷ 217
    84990 ÷ 131072     		y = 0.648422241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367019653320312 × 2 - 1) × π
    -0.265960693359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83554016
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648422241210938 × 2 - 1) × π
    -0.296844482421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.932564445208572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83554016} λ = -0.83554016}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932564445208572))-π/2
    2×atan(0.393543195258628)-π/2
    2×0.374927803261991-π/2
    0.749855606523982-1.57079632675     		φ = -0.82094072
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83554016} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.872925°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82094072 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.036438°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48106 KachelY 84990 -0.83554016 -0.82094072 -47.872925 -47.036438
    Oben rechts KachelX + 1 48107 KachelY 84990 -0.83549222 -0.82094072 -47.870178 -47.036438
    Unten links KachelX 48106 KachelY + 1 84991 -0.83554016 -0.82097339 -47.872925 -47.038310
    Unten rechts KachelX + 1 48107 KachelY + 1 84991 -0.83549222 -0.82097339 -47.870178 -47.038310
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82094072--0.82097339) × R
    3.26700000000679e-05 × 6371000     		dl = 208.140570000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82094072--0.82097339) × R
    3.26700000000679e-05 × 6371000     		dr = 208.140570000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83554016--0.83549222) × cos(-0.82094072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681533102016907 × 6371000     		do = 208.157752017873m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83554016--0.83549222) × cos(-0.82097339) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681509194162592 × 6371000     		du = 208.150449943777m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82094072)-sin(-0.82097339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681533102016907-0.681509194162592)×R²
    abs(-0.83549222--0.83554016)×2.39078543149418e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39078543149418e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39078543149418e-05×40589641000000     		ar = 43325.3132298848m²