Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48104 / 85012
↖ ↑ ↗
← S 47.077604°
W 47.878418°		 ← 207.95 m → S 47.077604°
W 47.875672°		 →
↑
207.95 m
↓
↑
207.95 m
↓
S 47.079474°
W 47.878418°		 ← 207.95 m →
43 243 m²		 S 47.079474°
W 47.875672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85012 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367008209228516 y=0.648593902587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367008209228516 × 217)
    floor (0.367008209228516 × 131072)
    floor (48104.5)     		tx = 48104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648593902587891 × 217)
    floor (0.648593902587891 × 131072)
    floor (85012.5)     		ty = 85012
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48104 / 85012 ti = "17/48104/85012"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48104/85012.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48104 ÷ 217
    48104 ÷ 131072     		x = 0.36700439453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85012 ÷ 217
    85012 ÷ 131072     		y = 0.648590087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36700439453125 × 2 - 1) × π
    -0.2659912109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83563603
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648590087890625 × 2 - 1) × π
    -0.29718017578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.933619057000214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83563603} λ = -0.83563603}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933619057000214))-π/2
    2×atan(0.393128378738032)-π/2
    2×0.374568565509098-π/2
    0.749137131018195-1.57079632675     		φ = -0.82165920
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83563603} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.878418°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82165920 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.077604°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48104 KachelY 85012 -0.83563603 -0.82165920 -47.878418 -47.077604
    Oben rechts KachelX + 1 48105 KachelY 85012 -0.83558810 -0.82165920 -47.875672 -47.077604
    Unten links KachelX 48104 KachelY + 1 85013 -0.83563603 -0.82169184 -47.878418 -47.079474
    Unten rechts KachelX + 1 48105 KachelY + 1 85013 -0.83558810 -0.82169184 -47.875672 -47.079474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82165920--0.82169184) × R
    3.26399999999172e-05 × 6371000     		dl = 207.949439999472m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82165920--0.82169184) × R
    3.26399999999172e-05 × 6371000     		dr = 207.949439999472m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83563603--0.83558810) × cos(-0.82165920) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681007151625145 × 6371000     		do = 207.9537262649m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83563603--0.83558810) × cos(-0.82169184) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.680983249748803 × 6371000     		du = 207.946427539419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82165920)-sin(-0.82169184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681007151625145-0.680983249748803)×R²
    abs(-0.83558810--0.83563603)×2.39018763423804e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39018763423804e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39018763423804e-05×40589641000000     		ar = 43243.1020433145m²