Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48103 / 85013
↖ ↑ ↗
← S 47.079474°
W 47.881164°		 ← 207.99 m → S 47.079474°
W 47.878418°		 →
↑
207.95 m
↓
↑
207.95 m
↓
S 47.081345°
W 47.881164°		 ← 207.98 m →
43 251 m²		 S 47.081345°
W 47.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85013 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367000579833984 y=0.648601531982422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367000579833984 × 217)
    floor (0.367000579833984 × 131072)
    floor (48103.5)     		tx = 48103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648601531982422 × 217)
    floor (0.648601531982422 × 131072)
    floor (85013.5)     		ty = 85013
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48103 / 85013 ti = "17/48103/85013"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48103/85013.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48103 ÷ 217
    48103 ÷ 131072     		x = 0.366996765136719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85013 ÷ 217
    85013 ÷ 131072     		y = 0.648597717285156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366996765136719 × 2 - 1) × π
    -0.266006469726562 × 3.1415926535     		Λ = -0.83568397
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648597717285156 × 2 - 1) × π
    -0.297195434570312 × 3.1415926535     		Φ = -0.933666993899834
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83568397} λ = -0.83568397}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933666993899834))-π/2
    2×atan(0.393109533834089)-π/2
    2×0.374552243109777-π/2
    0.749104486219555-1.57079632675     		φ = -0.82169184
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83568397} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.881164°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82169184 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.079474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48103 KachelY 85013 -0.83568397 -0.82169184 -47.881164 -47.079474
    Oben rechts KachelX + 1 48104 KachelY 85013 -0.83563603 -0.82169184 -47.878418 -47.079474
    Unten links KachelX 48103 KachelY + 1 85014 -0.83568397 -0.82172448 -47.881164 -47.081345
    Unten rechts KachelX + 1 48104 KachelY + 1 85014 -0.83563603 -0.82172448 -47.878418 -47.081345
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82169184--0.82172448) × R
    3.26400000000282e-05 × 6371000     		dl = 207.94944000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82169184--0.82172448) × R
    3.26400000000282e-05 × 6371000     		dr = 207.94944000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83568397--0.83563603) × cos(-0.82169184) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.680983249748803 × 6371000     		do = 207.989812982478m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83568397--0.83563603) × cos(-0.82172448) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.680959347146962 × 6371000     		du = 207.982512512623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82169184)-sin(-0.82172448))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.680983249748803-0.680959347146962)×R²
    abs(-0.83563603--0.83568397)×2.39026018413746e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.39026018413746e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.39026018413746e-05×40589641000000     		ar = 43250.606074957m²