Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48102 / 85005
↖ ↑ ↗
← S 47.064509°
W 47.883911°		 ← 208.05 m → S 47.064509°
W 47.881164°		 →
↑
208.01 m
↓
↑
208.01 m
↓
S 47.066380°
W 47.883911°		 ← 208.04 m →
43 276 m²		 S 47.066380°
W 47.881164°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366992950439453 y=0.648540496826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366992950439453 × 217)
    floor (0.366992950439453 × 131072)
    floor (48102.5)     		tx = 48102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648540496826172 × 217)
    floor (0.648540496826172 × 131072)
    floor (85005.5)     		ty = 85005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48102 / 85005 ti = "17/48102/85005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48102/85005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48102 ÷ 217
    48102 ÷ 131072     		x = 0.366989135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85005 ÷ 217
    85005 ÷ 131072     		y = 0.648536682128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366989135742188 × 2 - 1) × π
    -0.266021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83573191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648536682128906 × 2 - 1) × π
    -0.297073364257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.933283498702873
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83573191} λ = -0.83573191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933283498702873))-π/2
    2×atan(0.393260318362918)-π/2
    2×0.374682838347834-π/2
    0.749365676695668-1.57079632675     		φ = -0.82143065
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83573191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.883911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82143065 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.064509°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48102 KachelY 85005 -0.83573191 -0.82143065 -47.883911 -47.064509
    Oben rechts KachelX + 1 48103 KachelY 85005 -0.83568397 -0.82143065 -47.881164 -47.064509
    Unten links KachelX 48102 KachelY + 1 85006 -0.83573191 -0.82146330 -47.883911 -47.066380
    Unten rechts KachelX + 1 48103 KachelY + 1 85006 -0.83568397 -0.82146330 -47.881164 -47.066380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82143065--0.82146330) × R
    3.26499999999674e-05 × 6371000     		dl = 208.013149999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82143065--0.82146330) × R
    3.26499999999674e-05 × 6371000     		dr = 208.013149999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83573191--0.83568397) × cos(-0.82143065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681174495691915 × 6371000     		do = 208.048224415693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83573191--0.83568397) × cos(-0.82146330) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.6811505915749 × 6371000     		du = 208.040923483065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82143065)-sin(-0.82146330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681174495691915-0.6811505915749)×R²
    abs(-0.83568397--0.83573191)×2.39041170145837e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39041170145837e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39041170145837e-05×40589641000000     		ar = 43276.0071713113m²