Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48101 / 84986
↖ ↑ ↗
← S 47.028951°
W 47.886657°		 ← 208.14 m → S 47.028951°
W 47.883911°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
S 47.030822°
W 47.886657°		 ← 208.14 m →
43 322 m²		 S 47.030822°
W 47.883911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366985321044922 y=0.648395538330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366985321044922 × 217)
    floor (0.366985321044922 × 131072)
    floor (48101.5)     		tx = 48101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648395538330078 × 217)
    floor (0.648395538330078 × 131072)
    floor (84986.5)     		ty = 84986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48101 / 84986 ti = "17/48101/84986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48101/84986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48101 ÷ 217
    48101 ÷ 131072     		x = 0.366981506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84986 ÷ 217
    84986 ÷ 131072     		y = 0.648391723632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366981506347656 × 2 - 1) × π
    -0.266036987304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.83577984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648391723632812 × 2 - 1) × π
    -0.296783447265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.932372697610092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83577984} λ = -0.83577984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932372697610092))-π/2
    2×atan(0.393618663456409)-π/2
    2×0.374993149014085-π/2
    0.74998629802817-1.57079632675     		φ = -0.82081003
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83577984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.886657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82081003 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.028951°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48101 KachelY 84986 -0.83577984 -0.82081003 -47.886657 -47.028951
    Oben rechts KachelX + 1 48102 KachelY 84986 -0.83573191 -0.82081003 -47.883911 -47.028951
    Unten links KachelX 48101 KachelY + 1 84987 -0.83577984 -0.82084270 -47.886657 -47.030822
    Unten rechts KachelX + 1 48102 KachelY + 1 84987 -0.83573191 -0.82084270 -47.883911 -47.030822
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82081003--0.82084270) × R
    3.26700000000679e-05 × 6371000     		dl = 208.140570000433m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82081003--0.82084270) × R
    3.26700000000679e-05 × 6371000     		dr = 208.140570000433m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83577984--0.83573191) × cos(-0.82081003) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681628733476694 × 6371000     		do = 208.1435337609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83577984--0.83573191) × cos(-0.82084270) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681604828532435 × 6371000     		du = 208.136234098594m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82081003)-sin(-0.82084270))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681628733476694-0.681604828532435)×R²
    abs(-0.83573191--0.83577984)×2.39049442593009e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39049442593009e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39049442593009e-05×40589641000000     		ar = 43322.3540848182m²