Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48101 / 84980
↖ ↑ ↗
← S 47.017717°
W 47.886657°		 ← 208.19 m → S 47.017717°
W 47.883911°		 →
↑
208.20 m
↓
↑
208.20 m
↓
S 47.019589°
W 47.886657°		 ← 208.18 m →
43 345 m²		 S 47.019589°
W 47.883911°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84980 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366985321044922 y=0.648349761962891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366985321044922 × 217)
    floor (0.366985321044922 × 131072)
    floor (48101.5)     		tx = 48101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648349761962891 × 217)
    floor (0.648349761962891 × 131072)
    floor (84980.5)     		ty = 84980
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48101 / 84980 ti = "17/48101/84980"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48101/84980.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48101 ÷ 217
    48101 ÷ 131072     		x = 0.366981506347656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84980 ÷ 217
    84980 ÷ 131072     		y = 0.648345947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366981506347656 × 2 - 1) × π
    -0.266036987304688 × 3.1415926535     		Λ = -0.83577984
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648345947265625 × 2 - 1) × π
    -0.29669189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.932085076212372
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83577984} λ = -0.83577984}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932085076212372))-π/2
    2×atan(0.393731892889384)-π/2
    2×0.375091184833669-π/2
    0.750182369667339-1.57079632675     		φ = -0.82061396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83577984} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.886657°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82061396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.017717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48101 KachelY 84980 -0.83577984 -0.82061396 -47.886657 -47.017717
    Oben rechts KachelX + 1 48102 KachelY 84980 -0.83573191 -0.82061396 -47.883911 -47.017717
    Unten links KachelX 48101 KachelY + 1 84981 -0.83577984 -0.82064664 -47.886657 -47.019589
    Unten rechts KachelX + 1 48102 KachelY + 1 84981 -0.83573191 -0.82064664 -47.883911 -47.019589
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82061396--0.82064664) × R
    3.26800000000071e-05 × 6371000     		dl = 208.204280000046m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82061396--0.82064664) × R
    3.26800000000071e-05 × 6371000     		dr = 208.204280000046m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83577984--0.83573191) × cos(-0.82061396) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681772184441622 × 6371000     		do = 208.187338238755m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83577984--0.83573191) × cos(-0.82064664) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.681748276548123 × 6371000     		du = 208.180037675864m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82061396)-sin(-0.82064664))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681772184441622-0.681748276548123)×R²
    abs(-0.83573191--0.83577984)×2.39078934988202e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.39078934988202e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.39078934988202e-05×40589641000000     		ar = 43344.7348627772m²