Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48100 / 84979
↖ ↑ ↗
← S 47.015844°
W 47.889404°		 ← 208.24 m → S 47.015844°
W 47.886657°		 →
↑
208.27 m
↓
↑
208.27 m
↓
S 47.017717°
W 47.889404°		 ← 208.23 m →
43 369 m²		 S 47.017717°
W 47.886657°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84979 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366977691650391 y=0.648342132568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366977691650391 × 217)
    floor (0.366977691650391 × 131072)
    floor (48100.5)     		tx = 48100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648342132568359 × 217)
    floor (0.648342132568359 × 131072)
    floor (84979.5)     		ty = 84979
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48100 / 84979 ti = "17/48100/84979"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48100/84979.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48100 ÷ 217
    48100 ÷ 131072     		x = 0.366973876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84979 ÷ 217
    84979 ÷ 131072     		y = 0.648338317871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366973876953125 × 2 - 1) × π
    -0.26605224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83582778
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648338317871094 × 2 - 1) × π
    -0.296676635742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.932037139312752
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83582778} λ = -0.83582778}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932037139312752))-π/2
    2×atan(0.393750767628006)-π/2
    2×0.375107526142636-π/2
    0.750215052285272-1.57079632675     		φ = -0.82058127
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83582778} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.889404°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82058127 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.015844°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48100 KachelY 84979 -0.83582778 -0.82058127 -47.889404 -47.015844
    Oben rechts KachelX + 1 48101 KachelY 84979 -0.83577984 -0.82058127 -47.886657 -47.015844
    Unten links KachelX 48100 KachelY + 1 84980 -0.83582778 -0.82061396 -47.889404 -47.017717
    Unten rechts KachelX + 1 48101 KachelY + 1 84980 -0.83577984 -0.82061396 -47.886657 -47.017717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82058127--0.82061396) × R
    3.26899999999464e-05 × 6371000     		dl = 208.267989999658m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82058127--0.82061396) × R
    3.26899999999464e-05 × 6371000     		dr = 208.267989999658m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83582778--0.83577984) × cos(-0.82058127) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681796098922422 × 6371000     		do = 208.238078042358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83582778--0.83577984) × cos(-0.82061396) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681772184441622 × 6371000     		du = 208.230773944362m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82058127)-sin(-0.82061396))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681796098922422-0.681772184441622)×R²
    abs(-0.83577984--0.83582778)×2.39144808007463e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39144808007463e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39144808007463e-05×40589641000000     		ar = 43368.5653542972m²