Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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10 / 481 / 596
↖ ↑ ↗
← S 28.304381°
W 10.898438°		 ← 34.418 km → S 28.304381°
W 10.546875°		 →
↑
34.368 km
↓
↑
34.368 km
↓
S 28.613460°
W 10.898438°		 ← 34.318 km →
1 181.16 km²		 S 28.613460°
W 10.546875°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 10 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 481 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.47021484375 y=0.58251953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=10 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.47021484375 × 210)
    floor (0.47021484375 × 1024)
    floor (481.5)     		tx = 481
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.58251953125 × 210)
    floor (0.58251953125 × 1024)
    floor (596.5)     		ty = 596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 10 / 481 / 596 ti = "10/481/596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/10/481/596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 481 ÷ 210
    481 ÷ 1024     		x = 0.4697265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 596 ÷ 210
    596 ÷ 1024     		y = 0.58203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4697265625 × 2 - 1) × π
    -0.060546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.19021362
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58203125 × 2 - 1) × π
    -0.1640625 × 3.1415926535     		Φ = -0.515417544714844
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.19021362} λ = -0.19021362}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515417544714844))-π/2
    2×atan(0.597251163480789)-π/2
    2×0.538395845576143-π/2
    1.07679169115229-1.57079632675     		φ = -0.49400464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.19021362} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -10.898438°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49400464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.304381°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 481 KachelY 596 -0.19021362 -0.49400464 -10.898438 -28.304381
    Oben rechts KachelX + 1 482 KachelY 596 -0.18407769 -0.49400464 -10.546875 -28.304381
    Unten links KachelX 481 KachelY + 1 597 -0.19021362 -0.49939908 -10.898438 -28.613460
    Unten rechts KachelX + 1 482 KachelY + 1 597 -0.18407769 -0.49939908 -10.546875 -28.613460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49400464--0.49939908) × R
    0.00539444 × 6371000     		dl = 34367.97724m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49400464--0.49939908) × R
    0.00539444 × 6371000     		dr = 34367.97724m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.19021362--0.18407769) × cos(-0.49400464) × R
    0.00613593000000001 × 0.880441101351802 × 6371000     		do = 34418.2123648689m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.19021362--0.18407769) × cos(-0.49939908) × R
    0.00613593000000001 × 0.877870499818039 × 6371000     		du = 34317.7223839279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49400464)-sin(-0.49939908))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880441101351802-0.877870499818039)×R²
    abs(-0.18407769--0.19021362)×0.00257060153376298×R²
    0.00613593000000001×0.00257060153376298×6371000²
    0.00613593000000001×0.00257060153376298×40589641000000     		ar = 1181160384.82203m²