Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48098 / 56311
↖ ↑ ↗
← N 24.549622°
W 47.894898°		 ← 277.82 m → N 24.549622°
W 47.892151°		 →
↑
277.84 m
↓
↑
277.84 m
↓
N 24.547123°
W 47.894898°		 ← 277.82 m →
77 189 m²		 N 24.547123°
W 47.892151°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366962432861328 y=0.429622650146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366962432861328 × 217)
    floor (0.366962432861328 × 131072)
    floor (48098.5)     		tx = 48098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429622650146484 × 217)
    floor (0.429622650146484 × 131072)
    floor (56311.5)     		ty = 56311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48098 / 56311 ti = "17/48098/56311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48098/56311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48098 ÷ 217
    48098 ÷ 131072     		x = 0.366958618164062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56311 ÷ 217
    56311 ÷ 131072     		y = 0.429618835449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366958618164062 × 2 - 1) × π
    -0.266082763671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83592366
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429618835449219 × 2 - 1) × π
    0.140762329101562 × 3.1415926535     		Φ = 0.442217898995018
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83592366} λ = -0.83592366}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442217898995018))-π/2
    2×atan(1.55615478805811)-π/2
    2×0.999634026042903-π/2
    1.99926805208581-1.57079632675     		φ = 0.42847173
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83592366} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.894898°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42847173 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.549622°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48098 KachelY 56311 -0.83592366 0.42847173 -47.894898 24.549622
    Oben rechts KachelX + 1 48099 KachelY 56311 -0.83587572 0.42847173 -47.892151 24.549622
    Unten links KachelX 48098 KachelY + 1 56312 -0.83592366 0.42842812 -47.894898 24.547123
    Unten rechts KachelX + 1 48099 KachelY + 1 56312 -0.83587572 0.42842812 -47.892151 24.547123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42847173-0.42842812) × R
    4.36099999999717e-05 × 6371000     		dl = 277.83930999982m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42847173-0.42842812) × R
    4.36099999999717e-05 × 6371000     		dr = 277.83930999982m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83592366--0.83587572) × cos(0.42847173) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90960177907394 × 6371000     		do = 277.815796478793m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83592366--0.83587572) × cos(0.42842812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90961989734285 × 6371000     		du = 277.821330264482m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42847173)-sin(0.42842812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.90960177907394-0.90961989734285)×R²
    abs(-0.83587572--0.83592366)×1.81182689091841e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81182689091841e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81182689091841e-05×40589641000000     		ar = 77188.9179646391m²