Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48094 / 56322
↖ ↑ ↗
← N 24.522137°
W 47.905884°		 ← 277.82 m → N 24.522137°
W 47.903137°		 →
↑
277.84 m
↓
↑
277.84 m
↓
N 24.519638°
W 47.905884°		 ← 277.82 m →
77 190 m²		 N 24.519638°
W 47.903137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56322 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366931915283203 y=0.429706573486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366931915283203 × 217)
    floor (0.366931915283203 × 131072)
    floor (48094.5)     		tx = 48094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429706573486328 × 217)
    floor (0.429706573486328 × 131072)
    floor (56322.5)     		ty = 56322
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48094 / 56322 ti = "17/48094/56322"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48094/56322.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48094 ÷ 217
    48094 ÷ 131072     		x = 0.366928100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56322 ÷ 217
    56322 ÷ 131072     		y = 0.429702758789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366928100585938 × 2 - 1) × π
    -0.266143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83611540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429702758789062 × 2 - 1) × π
    0.140594482421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.441690593099197
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83611540} λ = -0.83611540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441690593099197))-π/2
    2×atan(1.55533443477113)-π/2
    2×0.999394180588715-π/2
    1.99878836117743-1.57079632675     		φ = 0.42799203
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83611540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.905884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42799203 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.522137°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48094 KachelY 56322 -0.83611540 0.42799203 -47.905884 24.522137
    Oben rechts KachelX + 1 48095 KachelY 56322 -0.83606747 0.42799203 -47.903137 24.522137
    Unten links KachelX 48094 KachelY + 1 56323 -0.83611540 0.42794842 -47.905884 24.519638
    Unten rechts KachelX + 1 48095 KachelY + 1 56323 -0.83606747 0.42794842 -47.903137 24.519638
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42799203-0.42794842) × R
    4.36100000000272e-05 × 6371000     		dl = 277.839310000174m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42799203-0.42794842) × R
    4.36100000000272e-05 × 6371000     		dr = 277.839310000174m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83611540--0.83606747) × cos(0.42799203) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.909800980728873 × 6371000     		do = 277.818674370886m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83611540--0.83606747) × cos(0.42794842) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.909819079966897 × 6371000     		du = 277.824201190951m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42799203)-sin(0.42794842))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909800980728873-0.909819079966897)×R²
    abs(-0.83606747--0.83611540)×1.80992380240941e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.80992380240941e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.80992380240941e-05×40589641000000     		ar = 77189.7165885078m²