Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48094 / 56306
↖ ↑ ↗
← N 24.562112°
W 47.905884°		 ← 277.73 m → N 24.562112°
W 47.903137°		 →
↑
277.78 m
↓
↑
277.78 m
↓
N 24.559614°
W 47.905884°		 ← 277.74 m →
77 147 m²		 N 24.559614°
W 47.903137°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56306 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366931915283203 y=0.429584503173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366931915283203 × 217)
    floor (0.366931915283203 × 131072)
    floor (48094.5)     		tx = 48094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429584503173828 × 217)
    floor (0.429584503173828 × 131072)
    floor (56306.5)     		ty = 56306
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48094 / 56306 ti = "17/48094/56306"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48094/56306.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48094 ÷ 217
    48094 ÷ 131072     		x = 0.366928100585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56306 ÷ 217
    56306 ÷ 131072     		y = 0.429580688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366928100585938 × 2 - 1) × π
    -0.266143798828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83611540
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429580688476562 × 2 - 1) × π
    0.140838623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.442457583493118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83611540} λ = -0.83611540}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442457583493118))-π/2
    2×atan(1.55652781894052)-π/2
    2×0.999743029337614-π/2
    1.99948605867523-1.57079632675     		φ = 0.42868973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83611540} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.905884°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42868973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.562112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48094 KachelY 56306 -0.83611540 0.42868973 -47.905884 24.562112
    Oben rechts KachelX + 1 48095 KachelY 56306 -0.83606747 0.42868973 -47.903137 24.562112
    Unten links KachelX 48094 KachelY + 1 56307 -0.83611540 0.42864613 -47.905884 24.559614
    Unten rechts KachelX + 1 48095 KachelY + 1 56307 -0.83606747 0.42864613 -47.903137 24.559614
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42868973-0.42864613) × R
    4.3599999999977e-05 × 6371000     		dl = 277.775599999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42868973-0.42864613) × R
    4.3599999999977e-05 × 6371000     		dr = 277.775599999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83611540--0.83606747) × cos(0.42868973) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.909511182565409 × 6371000     		do = 277.730181015401m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83611540--0.83606747) × cos(0.42864613) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.909529305325142 × 6371000     		du = 277.735715018102m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42868973)-sin(0.42864613))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909511182565409-0.909529305325142)×R²
    abs(-0.83606747--0.83611540)×1.8122759732786e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.8122759732786e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.8122759732786e-05×40589641000000     		ar = 77147.436287369m²