Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48091 / 56339
↖ ↑ ↗
← N 24.479650°
W 47.914123°		 ← 277.91 m → N 24.479650°
W 47.911377°		 →
↑
277.97 m
↓
↑
277.97 m
↓
N 24.477150°
W 47.914123°		 ← 277.92 m →
77 251 m²		 N 24.477150°
W 47.911377°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56339 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366909027099609 y=0.429836273193359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366909027099609 × 217)
    floor (0.366909027099609 × 131072)
    floor (48091.5)     		tx = 48091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429836273193359 × 217)
    floor (0.429836273193359 × 131072)
    floor (56339.5)     		ty = 56339
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48091 / 56339 ti = "17/48091/56339"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48091/56339.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48091 ÷ 217
    48091 ÷ 131072     		x = 0.366905212402344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56339 ÷ 217
    56339 ÷ 131072     		y = 0.429832458496094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366905212402344 × 2 - 1) × π
    -0.266189575195312 × 3.1415926535     		Λ = -0.83625921
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429832458496094 × 2 - 1) × π
    0.140335083007812 × 3.1415926535     		Φ = 0.440875665805656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83625921} λ = -0.83625921}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440875665805656))-π/2
    2×atan(1.55406746660323)-π/2
    2×0.999023407097915-π/2
    1.99804681419583-1.57079632675     		φ = 0.42725049
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83625921} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.914123°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42725049 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.479650°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48091 KachelY 56339 -0.83625921 0.42725049 -47.914123 24.479650
    Oben rechts KachelX + 1 48092 KachelY 56339 -0.83621128 0.42725049 -47.911377 24.479650
    Unten links KachelX 48091 KachelY + 1 56340 -0.83625921 0.42720686 -47.914123 24.477150
    Unten rechts KachelX + 1 48092 KachelY + 1 56340 -0.83621128 0.42720686 -47.911377 24.477150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42725049-0.42720686) × R
    4.36299999999612e-05 × 6371000     		dl = 277.966729999753m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42725049-0.42720686) × R
    4.36299999999612e-05 × 6371000     		dr = 277.966729999753m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83625921--0.83621128) × cos(0.42725049) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.910108502870856 × 6371000     		do = 277.912579957075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83625921--0.83621128) × cos(0.42720686) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.910126580968567 × 6371000     		du = 277.918100321691m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42725049)-sin(0.42720686))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910108502870856-0.910126580968567)×R²
    abs(-0.83621128--0.83625921)×1.80780977111494e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80780977111494e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80780977111494e-05×40589641000000     		ar = 77251.2183275428m²