Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 4809 / 3595
↖ ↑ ↗
← N 21.493963°
E 31.333008°		 ← 4 546.67 m → N 21.493963°
E 31.376953°		 →
↑
4 547.30 m
↓
↑
4 547.30 m
↓
N 21.453069°
E 31.333008°		 ← 4 547.94 m →
20 677 972 m²		 N 21.453069°
E 31.376953°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 4809 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.58709716796875 y=0.43890380859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.58709716796875 × 213)
    floor (0.58709716796875 × 8192)
    floor (4809.5)     		tx = 4809
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.43890380859375 × 213)
    floor (0.43890380859375 × 8192)
    floor (3595.5)     		ty = 3595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 4809 / 3595 ti = "13/4809/3595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/4809/3595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 4809 ÷ 213
    4809 ÷ 8192     		x = 0.5870361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3595 ÷ 213
    3595 ÷ 8192     		y = 0.4388427734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5870361328125 × 2 - 1) × π
    0.174072265625 × 3.1415926535     		Λ = 0.54686415
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4388427734375 × 2 - 1) × π
    0.122314453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.38426218735437
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.54686415} λ = 0.54686415}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.38426218735437))-π/2
    2×atan(1.46853042131737)-π/2
    2×0.972968380131922-π/2
    1.94593676026384-1.57079632675     		φ = 0.37514043
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.54686415} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.333008°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.37514043 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 21.493963°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 4809 KachelY 3595 0.54686415 0.37514043 31.333008 21.493963
    Oben rechts KachelX + 1 4810 KachelY 3595 0.54763114 0.37514043 31.376953 21.493963
    Unten links KachelX 4809 KachelY + 1 3596 0.54686415 0.37442668 31.333008 21.453069
    Unten rechts KachelX + 1 4810 KachelY + 1 3596 0.54763114 0.37442668 31.376953 21.453069
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.37514043-0.37442668) × R
    0.000713750000000013 × 6371000     		dl = 4547.30125000008m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.37514043-0.37442668) × R
    0.000713750000000013 × 6371000     		dr = 4547.30125000008m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.54686415-0.54763114) × cos(0.37514043) × R
    0.000766990000000023 × 0.930456177086146 × 6371000     		do = 4546.66786597064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.54686415-0.54763114) × cos(0.37442668) × R
    0.000766990000000023 × 0.930717460340206 × 6371000     		du = 4547.94462483839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.37514043)-sin(0.37442668))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.930456177086146-0.930717460340206)×R²
    abs(0.54763114-0.54686415)×0.000261283254059719×R²
    0.000766990000000023×0.000261283254059719×6371000²
    0.000766990000000023×0.000261283254059719×40589641000000     		ar = 20677972.2517084m²