Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48087 / 56392
↖ ↑ ↗
← N 24.347097°
W 47.925110°		 ← 278.26 m → N 24.347097°
W 47.922363°		 →
↑
278.22 m
↓
↑
278.22 m
↓
N 24.344595°
W 47.925110°		 ← 278.27 m →
77 419 m²		 N 24.344595°
W 47.922363°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56392 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366878509521484 y=0.430240631103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366878509521484 × 217)
    floor (0.366878509521484 × 131072)
    floor (48087.5)     		tx = 48087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430240631103516 × 217)
    floor (0.430240631103516 × 131072)
    floor (56392.5)     		ty = 56392
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48087 / 56392 ti = "17/48087/56392"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48087/56392.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48087 ÷ 217
    48087 ÷ 131072     		x = 0.366874694824219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56392 ÷ 217
    56392 ÷ 131072     		y = 0.43023681640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366874694824219 × 2 - 1) × π
    -0.266250610351562 × 3.1415926535     		Λ = -0.83645096
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43023681640625 × 2 - 1) × π
    0.1395263671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.438335010125793
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83645096} λ = -0.83645096}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438335010125793))-π/2
    2×atan(1.55012412772165)-π/2
    2×0.997866663172335-π/2
    1.99573332634467-1.57079632675     		φ = 0.42493700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83645096} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.925110°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42493700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.347097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48087 KachelY 56392 -0.83645096 0.42493700 -47.925110 24.347097
    Oben rechts KachelX + 1 48088 KachelY 56392 -0.83640302 0.42493700 -47.922363 24.347097
    Unten links KachelX 48087 KachelY + 1 56393 -0.83645096 0.42489333 -47.925110 24.344595
    Unten rechts KachelX + 1 48088 KachelY + 1 56393 -0.83640302 0.42489333 -47.922363 24.344595
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42493700-0.42489333) × R
    4.36699999999957e-05 × 6371000     		dl = 278.221569999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42493700-0.42489333) × R
    4.36699999999957e-05 × 6371000     		dr = 278.221569999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83645096--0.83640302) × cos(0.42493700) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.91106470735531 × 6371000     		do = 278.262612431697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83645096--0.83640302) × cos(0.42489333) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.911082710028617 × 6371000     		du = 278.268110911513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42493700)-sin(0.42489333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91106470735531-0.911082710028617)×R²
    abs(-0.83640302--0.83645096)×1.80026733067606e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80026733067606e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80026733067606e-05×40589641000000     		ar = 77419.4258131689m²