Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48085 / 84989
↖ ↑ ↗
← S 47.034567°
W 47.930603°		 ← 208.17 m → S 47.034567°
W 47.927857°		 →
↑
208.14 m
↓
↑
208.14 m
↓
S 47.036438°
W 47.930603°		 ← 208.16 m →
43 327 m²		 S 47.036438°
W 47.927857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84989 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366863250732422 y=0.648418426513672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366863250732422 × 217)
    floor (0.366863250732422 × 131072)
    floor (48085.5)     		tx = 48085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648418426513672 × 217)
    floor (0.648418426513672 × 131072)
    floor (84989.5)     		ty = 84989
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48085 / 84989 ti = "17/48085/84989"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48085/84989.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48085 ÷ 217
    48085 ÷ 131072     		x = 0.366859436035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84989 ÷ 217
    84989 ÷ 131072     		y = 0.648414611816406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366859436035156 × 2 - 1) × π
    -0.266281127929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.83654684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648414611816406 × 2 - 1) × π
    -0.296829223632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.932516508308952
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83654684} λ = -0.83654684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932516508308952))-π/2
    2×atan(0.393562060951453)-π/2
    2×0.374944138840454-π/2
    0.749888277680909-1.57079632675     		φ = -0.82090805
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83654684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.930603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82090805 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.034567°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48085 KachelY 84989 -0.83654684 -0.82090805 -47.930603 -47.034567
    Oben rechts KachelX + 1 48086 KachelY 84989 -0.83649890 -0.82090805 -47.927857 -47.034567
    Unten links KachelX 48085 KachelY + 1 84990 -0.83654684 -0.82094072 -47.930603 -47.036438
    Unten rechts KachelX + 1 48086 KachelY + 1 84990 -0.83649890 -0.82094072 -47.927857 -47.036438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82090805--0.82094072) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dl = 208.140569999725m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82090805--0.82094072) × R
    3.26699999999569e-05 × 6371000     		dr = 208.140569999725m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83654684--0.83649890) × cos(-0.82090805) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681557009143802 × 6371000     		do = 208.165053869796m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83654684--0.83649890) × cos(-0.82094072) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.681533102016907 × 6371000     		du = 208.157752017873m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82090805)-sin(-0.82094072))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681557009143802-0.681533102016907)×R²
    abs(-0.83649890--0.83654684)×2.39071268948177e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39071268948177e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39071268948177e-05×40589641000000     		ar = 43326.8330645206m²