Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48085 / 56405
↖ ↑ ↗
← N 24.314562°
W 47.930603°		 ← 278.33 m → N 24.314562°
W 47.927857°		 →
↑
278.35 m
↓
↑
278.35 m
↓
N 24.312059°
W 47.930603°		 ← 278.34 m →
77 475 m²		 N 24.312059°
W 47.927857°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56405 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366863250732422 y=0.430339813232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366863250732422 × 217)
    floor (0.366863250732422 × 131072)
    floor (48085.5)     		tx = 48085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430339813232422 × 217)
    floor (0.430339813232422 × 131072)
    floor (56405.5)     		ty = 56405
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48085 / 56405 ti = "17/48085/56405"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48085/56405.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48085 ÷ 217
    48085 ÷ 131072     		x = 0.366859436035156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56405 ÷ 217
    56405 ÷ 131072     		y = 0.430335998535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366859436035156 × 2 - 1) × π
    -0.266281127929688 × 3.1415926535     		Λ = -0.83654684
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430335998535156 × 2 - 1) × π
    0.139328002929688 × 3.1415926535     		Φ = 0.437711830430733
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83654684} λ = -0.83654684}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.437711830430733))-π/2
    2×atan(1.54915842277554)-π/2
    2×0.997582748204948-π/2
    1.9951654964099-1.57079632675     		φ = 0.42436917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83654684} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.930603°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42436917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.314562°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48085 KachelY 56405 -0.83654684 0.42436917 -47.930603 24.314562
    Oben rechts KachelX + 1 48086 KachelY 56405 -0.83649890 0.42436917 -47.927857 24.314562
    Unten links KachelX 48085 KachelY + 1 56406 -0.83654684 0.42432548 -47.930603 24.312059
    Unten rechts KachelX + 1 48086 KachelY + 1 56406 -0.83649890 0.42432548 -47.927857 24.312059
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42436917-0.42432548) × R
    4.36900000000406e-05 × 6371000     		dl = 278.348990000259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42436917-0.42432548) × R
    4.36900000000406e-05 × 6371000     		dr = 278.348990000259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83654684--0.83649890) × cos(0.42436917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.911298655983203 × 6371000     		do = 278.334066364493m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83654684--0.83649890) × cos(0.42432548) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.911316644295714 × 6371000     		du = 278.339560458153m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42436917)-sin(0.42432548))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911298655983203-0.911316644295714)×R²
    abs(-0.83649890--0.83654684)×1.79883125106528e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.79883125106528e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.79883125106528e-05×40589641000000     		ar = 77474.7709052357m²