Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48084 / 56348
↖ ↑ ↗
← N 24.457150°
W 47.933349°		 ← 277.96 m → N 24.457150°
W 47.930603°		 →
↑
277.97 m
↓
↑
277.97 m
↓
N 24.454651°
W 47.933349°		 ← 277.97 m →
77 265 m²		 N 24.454651°
W 47.930603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56348 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366855621337891 y=0.429904937744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366855621337891 × 217)
    floor (0.366855621337891 × 131072)
    floor (48084.5)     		tx = 48084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429904937744141 × 217)
    floor (0.429904937744141 × 131072)
    floor (56348.5)     		ty = 56348
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48084 / 56348 ti = "17/48084/56348"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48084/56348.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48084 ÷ 217
    48084 ÷ 131072     		x = 0.366851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56348 ÷ 217
    56348 ÷ 131072     		y = 0.429901123046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.26629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83659477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429901123046875 × 2 - 1) × π
    0.14019775390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.440444233709076
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83659477} λ = -0.83659477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440444233709076))-π/2
    2×atan(1.55339713662922)-π/2
    2×0.998827064543169-π/2
    1.99765412908634-1.57079632675     		φ = 0.42685780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83659477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.933349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42685780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.457150°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48084 KachelY 56348 -0.83659477 0.42685780 -47.933349 24.457150
    Oben rechts KachelX + 1 48085 KachelY 56348 -0.83654684 0.42685780 -47.930603 24.457150
    Unten links KachelX 48084 KachelY + 1 56349 -0.83659477 0.42681417 -47.933349 24.454651
    Unten rechts KachelX + 1 48085 KachelY + 1 56349 -0.83654684 0.42681417 -47.930603 24.454651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42685780-0.42681417) × R
    4.36300000000167e-05 × 6371000     		dl = 277.966730000106m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42685780-0.42681417) × R
    4.36300000000167e-05 × 6371000     		dr = 277.966730000106m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83659477--0.83654684) × cos(0.42685780) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.910271151657765 × 6371000     		do = 277.962246720823m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83659477--0.83654684) × cos(0.42681417) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.91028921416098 × 6371000     		du = 277.967762323472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42685780)-sin(0.42681417))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910271151657765-0.91028921416098)×R²
    abs(-0.83654684--0.83659477)×1.80625032150106e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.80625032150106e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.80625032150106e-05×40589641000000     		ar = 77265.0233737227m²