Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48084 / 56299
↖ ↑ ↗
← N 24.579597°
W 47.933349°		 ← 277.69 m → N 24.579597°
W 47.930603°		 →
↑
277.71 m
↓
↑
277.71 m
↓
N 24.577100°
W 47.933349°		 ← 277.70 m →
77 119 m²		 N 24.577100°
W 47.930603°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366855621337891 y=0.429531097412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366855621337891 × 217)
    floor (0.366855621337891 × 131072)
    floor (48084.5)     		tx = 48084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429531097412109 × 217)
    floor (0.429531097412109 × 131072)
    floor (56299.5)     		ty = 56299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48084 / 56299 ti = "17/48084/56299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48084/56299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48084 ÷ 217
    48084 ÷ 131072     		x = 0.366851806640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56299 ÷ 217
    56299 ÷ 131072     		y = 0.429527282714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366851806640625 × 2 - 1) × π
    -0.26629638671875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83659477
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429527282714844 × 2 - 1) × π
    0.140945434570312 × 3.1415926535     		Φ = 0.442793141790459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83659477} λ = -0.83659477}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.442793141790459))-π/2
    2×atan(1.55705021240704)-π/2
    2×0.999895615705053-π/2
    1.99979123141011-1.57079632675     		φ = 0.42899490
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83659477} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.933349°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42899490 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.579597°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48084 KachelY 56299 -0.83659477 0.42899490 -47.933349 24.579597
    Oben rechts KachelX + 1 48085 KachelY 56299 -0.83654684 0.42899490 -47.930603 24.579597
    Unten links KachelX 48084 KachelY + 1 56300 -0.83659477 0.42895131 -47.933349 24.577100
    Unten rechts KachelX + 1 48085 KachelY + 1 56300 -0.83654684 0.42895131 -47.930603 24.577100
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42899490-0.42895131) × R
    4.35900000000378e-05 × 6371000     		dl = 277.711890000241m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42899490-0.42895131) × R
    4.35900000000378e-05 × 6371000     		dr = 277.711890000241m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83659477--0.83654684) × cos(0.42899490) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.909384287317477 × 6371000     		do = 277.691432025538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83659477--0.83654684) × cos(0.42895131) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.909402418018734 × 6371000     		du = 277.696968453279m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42899490)-sin(0.42895131))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909384287317477-0.909402418018734)×R²
    abs(-0.83654684--0.83659477)×1.813070125678e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.813070125678e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.813070125678e-05×40589641000000     		ar = 77118.9812027787m²