Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48083 / 56327
↖ ↑ ↗
← N 24.509642°
W 47.936096°		 ← 277.90 m → N 24.509642°
W 47.933349°		 →
↑
277.90 m
↓
↑
277.90 m
↓
N 24.507143°
W 47.936096°		 ← 277.91 m →
77 231 m²		 N 24.507143°
W 47.933349°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56327 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366847991943359 y=0.429744720458984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366847991943359 × 217)
    floor (0.366847991943359 × 131072)
    floor (48083.5)     		tx = 48083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429744720458984 × 217)
    floor (0.429744720458984 × 131072)
    floor (56327.5)     		ty = 56327
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48083 / 56327 ti = "17/48083/56327"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48083/56327.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48083 ÷ 217
    48083 ÷ 131072     		x = 0.366844177246094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56327 ÷ 217
    56327 ÷ 131072     		y = 0.429740905761719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366844177246094 × 2 - 1) × π
    -0.266311645507812 × 3.1415926535     		Λ = -0.83664271
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429740905761719 × 2 - 1) × π
    0.140518188476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.441450908601097
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83664271} λ = -0.83664271}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441450908601097))-π/2
    2×atan(1.55496168989012)-π/2
    2×0.999285142570628-π/2
    1.99857028514126-1.57079632675     		φ = 0.42777396
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83664271} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.936096°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42777396 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.509642°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48083 KachelY 56327 -0.83664271 0.42777396 -47.936096 24.509642
    Oben rechts KachelX + 1 48084 KachelY 56327 -0.83659477 0.42777396 -47.933349 24.509642
    Unten links KachelX 48083 KachelY + 1 56328 -0.83664271 0.42773034 -47.936096 24.507143
    Unten rechts KachelX + 1 48084 KachelY + 1 56328 -0.83659477 0.42773034 -47.933349 24.507143
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42777396-0.42773034) × R
    4.3620000000022e-05 × 6371000     		dl = 277.90302000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42777396-0.42773034) × R
    4.3620000000022e-05 × 6371000     		dr = 277.90302000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83664271--0.83659477) × cos(0.42777396) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909891467912346 × 6371000     		do = 277.904274906632m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83664271--0.83659477) × cos(0.42773034) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.909909562645683 × 6371000     		du = 277.909801503952m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42777396)-sin(0.42773034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909891467912346-0.909909562645683)×R²
    abs(-0.83659477--0.83664271)×1.80947333374704e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80947333374704e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80947333374704e-05×40589641000000     		ar = 77231.205208725m²