Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48082 / 56347
↖ ↑ ↗
← N 24.459651°
W 47.938843°		 ← 278.01 m → N 24.459651°
W 47.936096°		 →
↑
278.03 m
↓
↑
278.03 m
↓
N 24.457150°
W 47.938843°		 ← 278.02 m →
77 297 m²		 N 24.457150°
W 47.936096°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366840362548828 y=0.429897308349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366840362548828 × 217)
    floor (0.366840362548828 × 131072)
    floor (48082.5)     		tx = 48082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429897308349609 × 217)
    floor (0.429897308349609 × 131072)
    floor (56347.5)     		ty = 56347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48082 / 56347 ti = "17/48082/56347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48082/56347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48082 ÷ 217
    48082 ÷ 131072     		x = 0.366836547851562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56347 ÷ 217
    56347 ÷ 131072     		y = 0.429893493652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366836547851562 × 2 - 1) × π
    -0.266326904296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83669065
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429893493652344 × 2 - 1) × π
    0.140213012695312 × 3.1415926535     		Φ = 0.440492170608696
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83669065} λ = -0.83669065}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440492170608696))-π/2
    2×atan(1.55347160345667)-π/2
    2×0.998848882115049-π/2
    1.9976977642301-1.57079632675     		φ = 0.42690144
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83669065} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.938843°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42690144 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.459651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48082 KachelY 56347 -0.83669065 0.42690144 -47.938843 24.459651
    Oben rechts KachelX + 1 48083 KachelY 56347 -0.83664271 0.42690144 -47.936096 24.459651
    Unten links KachelX 48082 KachelY + 1 56348 -0.83669065 0.42685780 -47.938843 24.457150
    Unten rechts KachelX + 1 48083 KachelY + 1 56348 -0.83664271 0.42685780 -47.936096 24.457150
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42690144-0.42685780) × R
    4.36400000000114e-05 × 6371000     		dl = 278.030440000073m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42690144-0.42685780) × R
    4.36400000000114e-05 × 6371000     		dr = 278.030440000073m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83669065--0.83664271) × cos(0.42690144) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.910253083281256 × 6371000     		do = 278.014721548277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83669065--0.83664271) × cos(0.42685780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.910271151657765 × 6371000     		du = 278.020240095543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42690144)-sin(0.42685780))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910253083281256-0.910271151657765)×R²
    abs(-0.83664271--0.83669065)×1.80683765093059e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.80683765093059e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.80683765093059e-05×40589641000000     		ar = 77297.3225328818m²