Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48075 / 56261
↖ ↑ ↗
← N 24.674474°
W 47.958069°		 ← 277.48 m → N 24.674474°
W 47.955322°		 →
↑
277.52 m
↓
↑
277.52 m
↓
N 24.671978°
W 47.958069°		 ← 277.49 m →
77 007 m²		 N 24.671978°
W 47.955322°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56261 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366786956787109 y=0.429241180419922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366786956787109 × 217)
    floor (0.366786956787109 × 131072)
    floor (48075.5)     		tx = 48075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429241180419922 × 217)
    floor (0.429241180419922 × 131072)
    floor (56261.5)     		ty = 56261
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48075 / 56261 ti = "17/48075/56261"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48075/56261.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48075 ÷ 217
    48075 ÷ 131072     		x = 0.366783142089844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56261 ÷ 217
    56261 ÷ 131072     		y = 0.429237365722656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366783142089844 × 2 - 1) × π
    -0.266433715820312 × 3.1415926535     		Λ = -0.83702620
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429237365722656 × 2 - 1) × π
    0.141525268554688 × 3.1415926535     		Φ = 0.444614743976021
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83702620} λ = -0.83702620}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444614743976021))-π/2
    2×atan(1.55988912337519)-π/2
    2×1.00072356981395-π/2
    2.00144713962789-1.57079632675     		φ = 0.43065081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83702620} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.958069°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43065081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.674474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48075 KachelY 56261 -0.83702620 0.43065081 -47.958069 24.674474
    Oben rechts KachelX + 1 48076 KachelY 56261 -0.83697827 0.43065081 -47.955322 24.674474
    Unten links KachelX 48075 KachelY + 1 56262 -0.83702620 0.43060725 -47.958069 24.671978
    Unten rechts KachelX + 1 48076 KachelY + 1 56262 -0.83697827 0.43060725 -47.955322 24.671978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43065081-0.43060725) × R
    4.3559999999998e-05 × 6371000     		dl = 277.520759999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43065081-0.43060725) × R
    4.3559999999998e-05 × 6371000     		dr = 277.520759999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83702620--0.83697827) × cos(0.43065081) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.908694253509232 × 6371000     		do = 277.480721901083m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83702620--0.83697827) × cos(0.43060725) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.908712437303948 × 6371000     		du = 277.486274541551m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43065081)-sin(0.43060725))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908694253509232-0.908712437303948)×R²
    abs(-0.83697827--0.83702620)×1.81837947167418e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81837947167418e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81837947167418e-05×40589641000000     		ar = 77007.4313260094m²