Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48074 / 56255
↖ ↑ ↗
← N 24.689448°
W 47.960815°		 ← 277.51 m → N 24.689448°
W 47.958069°		 →
↑
277.52 m
↓
↑
277.52 m
↓
N 24.686952°
W 47.960815°		 ← 277.51 m →
77 014 m²		 N 24.686952°
W 47.958069°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56255 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366779327392578 y=0.429195404052734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366779327392578 × 217)
    floor (0.366779327392578 × 131072)
    floor (48074.5)     		tx = 48074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429195404052734 × 217)
    floor (0.429195404052734 × 131072)
    floor (56255.5)     		ty = 56255
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48074 / 56255 ti = "17/48074/56255"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48074/56255.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48074 ÷ 217
    48074 ÷ 131072     		x = 0.366775512695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56255 ÷ 217
    56255 ÷ 131072     		y = 0.429191589355469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366775512695312 × 2 - 1) × π
    -0.266448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83707414
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429191589355469 × 2 - 1) × π
    0.141616821289062 × 3.1415926535     		Φ = 0.444902365373741
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83707414} λ = -0.83707414}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444902365373741))-π/2
    2×atan(1.56033784539308)-π/2
    2×1.00085424192281-π/2
    2.00170848384562-1.57079632675     		φ = 0.43091216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83707414} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.960815°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43091216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.689448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48074 KachelY 56255 -0.83707414 0.43091216 -47.960815 24.689448
    Oben rechts KachelX + 1 48075 KachelY 56255 -0.83702620 0.43091216 -47.958069 24.689448
    Unten links KachelX 48074 KachelY + 1 56256 -0.83707414 0.43086860 -47.960815 24.686952
    Unten rechts KachelX + 1 48075 KachelY + 1 56256 -0.83702620 0.43086860 -47.958069 24.686952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43091216-0.43086860) × R
    4.3559999999998e-05 × 6371000     		dl = 277.520759999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43091216-0.43086860) × R
    4.3559999999998e-05 × 6371000     		dr = 277.520759999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83707414--0.83702620) × cos(0.43091216) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908585118710446 × 6371000     		do = 277.505282234944m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83707414--0.83702620) × cos(0.43086860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.90860331284959 × 6371000     		du = 277.510839193355m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43091216)-sin(0.43086860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908585118710446-0.90860331284959)×R²
    abs(-0.83702620--0.83707414)×1.81941391435014e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81941391435014e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81941391435014e-05×40589641000000     		ar = 77014.2479276474m²