Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48073 / 56265
↖ ↑ ↗
← N 24.664491°
W 47.963562°		 ← 277.56 m → N 24.664491°
W 47.960815°		 →
↑
277.58 m
↓
↑
277.58 m
↓
N 24.661994°
W 47.963562°		 ← 277.57 m →
77 047 m²		 N 24.661994°
W 47.960815°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56265 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366771697998047 y=0.429271697998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366771697998047 × 217)
    floor (0.366771697998047 × 131072)
    floor (48073.5)     		tx = 48073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429271697998047 × 217)
    floor (0.429271697998047 × 131072)
    floor (56265.5)     		ty = 56265
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48073 / 56265 ti = "17/48073/56265"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48073/56265.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48073 ÷ 217
    48073 ÷ 131072     		x = 0.366767883300781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56265 ÷ 217
    56265 ÷ 131072     		y = 0.429267883300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366767883300781 × 2 - 1) × π
    -0.266464233398438 × 3.1415926535     		Λ = -0.83712208
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429267883300781 × 2 - 1) × π
    0.141464233398438 × 3.1415926535     		Φ = 0.444422996377541
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83712208} λ = -0.83712208}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444422996377541))-π/2
    2×atan(1.55959004705639)-π/2
    2×1.00063644635711-π/2
    2.00127289271423-1.57079632675     		φ = 0.43047657
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83712208} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.963562°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43047657 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.664491°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48073 KachelY 56265 -0.83712208 0.43047657 -47.963562 24.664491
    Oben rechts KachelX + 1 48074 KachelY 56265 -0.83707414 0.43047657 -47.960815 24.664491
    Unten links KachelX 48073 KachelY + 1 56266 -0.83712208 0.43043300 -47.963562 24.661994
    Unten rechts KachelX + 1 48074 KachelY + 1 56266 -0.83707414 0.43043300 -47.960815 24.661994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43047657-0.43043300) × R
    4.35699999999928e-05 × 6371000     		dl = 277.584469999954m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43047657-0.43043300) × R
    4.35699999999928e-05 × 6371000     		dr = 277.584469999954m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83712208--0.83707414) × cos(0.43047657) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908766978342413 × 6371000     		do = 277.560826847614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83712208--0.83707414) × cos(0.43043300) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.908785159412535 × 6371000     		du = 277.56637981441m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43047657)-sin(0.43043300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908766978342413-0.908785159412535)×R²
    abs(-0.83707414--0.83712208)×1.81810701218588e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.81810701218588e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.81810701218588e-05×40589641000000     		ar = 77047.3457341293m²