Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48072 / 56264
↖ ↑ ↗
← N 24.666986°
W 47.966308°		 ← 277.50 m → N 24.666986°
W 47.963562°		 →
↑
277.52 m
↓
↑
277.52 m
↓
N 24.664491°
W 47.966308°		 ← 277.50 m →
77 012 m²		 N 24.664491°
W 47.963562°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366764068603516 y=0.429264068603516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366764068603516 × 217)
    floor (0.366764068603516 × 131072)
    floor (48072.5)     		tx = 48072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429264068603516 × 217)
    floor (0.429264068603516 × 131072)
    floor (56264.5)     		ty = 56264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48072 / 56264 ti = "17/48072/56264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48072/56264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48072 ÷ 217
    48072 ÷ 131072     		x = 0.36676025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56264 ÷ 217
    56264 ÷ 131072     		y = 0.42926025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36676025390625 × 2 - 1) × π
    -0.2664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83717001
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42926025390625 × 2 - 1) × π
    0.1414794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.444470933277161
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83717001} λ = -0.83717001}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444470933277161))-π/2
    2×atan(1.55966481075988)-π/2
    2×1.00065822787499-π/2
    2.00131645574999-1.57079632675     		φ = 0.43052013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83717001} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.966308°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43052013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.666986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48072 KachelY 56264 -0.83717001 0.43052013 -47.966308 24.666986
    Oben rechts KachelX + 1 48073 KachelY 56264 -0.83712208 0.43052013 -47.963562 24.666986
    Unten links KachelX 48072 KachelY + 1 56265 -0.83717001 0.43047657 -47.966308 24.664491
    Unten rechts KachelX + 1 48073 KachelY + 1 56265 -0.83712208 0.43047657 -47.963562 24.664491
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43052013-0.43047657) × R
    4.3559999999998e-05 × 6371000     		dl = 277.520759999988m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43052013-0.43047657) × R
    4.3559999999998e-05 × 6371000     		dr = 277.520759999988m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83717001--0.83712208) × cos(0.43052013) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.908748799720574 × 6371000     		do = 277.497378242908m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83717001--0.83712208) × cos(0.43047657) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.908766978342413 × 6371000     		du = 277.502929303775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43052013)-sin(0.43047657))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908748799720574-0.908766978342413)×R²
    abs(-0.83712208--0.83717001)×1.81786218396152e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.81786218396152e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.81786218396152e-05×40589641000000     		ar = 77012.0535874518m²