Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48071 / 60362
↖ ↑ ↗
← N 14.067317°
W 47.969055°		 ← 296.27 m → N 14.067317°
W 47.966308°		 →
↑
296.25 m
↓
↑
296.25 m
↓
N 14.064652°
W 47.969055°		 ← 296.27 m →
87 770 m²		 N 14.064652°
W 47.966308°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48071 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60362 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366756439208984 y=0.460529327392578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366756439208984 × 217)
    floor (0.366756439208984 × 131072)
    floor (48071.5)     		tx = 48071
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460529327392578 × 217)
    floor (0.460529327392578 × 131072)
    floor (60362.5)     		ty = 60362
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48071 / 60362 ti = "17/48071/60362"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48071/60362.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48071 ÷ 217
    48071 ÷ 131072     		x = 0.366752624511719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60362 ÷ 217
    60362 ÷ 131072     		y = 0.460525512695312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366752624511719 × 2 - 1) × π
    -0.266494750976562 × 3.1415926535     		Λ = -0.83721795
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460525512695312 × 2 - 1) × π
    0.078948974609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.248025518634171
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83721795} λ = -0.83721795}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248025518634171))-π/2
    2×atan(1.28149263371848)-π/2
    2×0.908158659083437-π/2
    1.81631731816687-1.57079632675     		φ = 0.24552099
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83721795} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.969055°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24552099 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.067317°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48071 KachelY 60362 -0.83721795 0.24552099 -47.969055 14.067317
    Oben rechts KachelX + 1 48072 KachelY 60362 -0.83717001 0.24552099 -47.966308 14.067317
    Unten links KachelX 48071 KachelY + 1 60363 -0.83721795 0.24547449 -47.969055 14.064652
    Unten rechts KachelX + 1 48072 KachelY + 1 60363 -0.83717001 0.24547449 -47.966308 14.064652
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24552099-0.24547449) × R
    4.65000000000049e-05 × 6371000     		dl = 296.251500000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24552099-0.24547449) × R
    4.65000000000049e-05 × 6371000     		dr = 296.251500000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83721795--0.83717001) × cos(0.24552099) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.970010823896235 × 6371000     		do = 296.266273696323m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83721795--0.83717001) × cos(0.24547449) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.97002212521768 × 6371000     		du = 296.269725410788m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24552099)-sin(0.24547449))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970010823896235-0.97002212521768)×R²
    abs(-0.83717001--0.83721795)×1.13013214446678e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.13013214446678e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.13013214446678e-05×40589641000000     		ar = 87769.8392855561m²