Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48068 / 60436
↖ ↑ ↗
← N 13.870080°
W 47.977295°		 ← 296.46 m → N 13.870080°
W 47.974549°		 →
↑
296.51 m
↓
↑
296.51 m
↓
N 13.867414°
W 47.977295°		 ← 296.46 m →
87 902 m²		 N 13.867414°
W 47.974549°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 60436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366733551025391 y=0.461093902587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366733551025391 × 217)
    floor (0.366733551025391 × 131072)
    floor (48068.5)     		tx = 48068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461093902587891 × 217)
    floor (0.461093902587891 × 131072)
    floor (60436.5)     		ty = 60436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48068 / 60436 ti = "17/48068/60436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48068/60436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48068 ÷ 217
    48068 ÷ 131072     		x = 0.366729736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 60436 ÷ 217
    60436 ÷ 131072     		y = 0.461090087890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366729736328125 × 2 - 1) × π
    -0.26654052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83736176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461090087890625 × 2 - 1) × π
    0.07781982421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.244478188062286
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83736176} λ = -0.83736176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244478188062286))-π/2
    2×atan(1.27695480906181)-π/2
    2×0.906437446030214-π/2
    1.81287489206043-1.57079632675     		φ = 0.24207857
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83736176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.977295°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24207857 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.870080°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48068 KachelY 60436 -0.83736176 0.24207857 -47.977295 13.870080
    Oben rechts KachelX + 1 48069 KachelY 60436 -0.83731383 0.24207857 -47.974549 13.870080
    Unten links KachelX 48068 KachelY + 1 60437 -0.83736176 0.24203203 -47.977295 13.867414
    Unten rechts KachelX + 1 48069 KachelY + 1 60437 -0.83731383 0.24203203 -47.974549 13.867414
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24207857-0.24203203) × R
    4.65399999999838e-05 × 6371000     		dl = 296.506339999897m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24207857-0.24203203) × R
    4.65399999999838e-05 × 6371000     		dr = 296.506339999897m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83736176--0.83731383) × cos(0.24207857) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.970841795350196 × 6371000     		do = 296.458221436475m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83736176--0.83731383) × cos(0.24203203) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.970852950919032 × 6371000     		du = 296.461627923621m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24207857)-sin(0.24203203))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970841795350196-0.970852950919032)×R²
    abs(-0.83731383--0.83736176)×1.11555688360188e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.11555688360188e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.11555688360188e-05×40589641000000     		ar = 87902.2472393738m²