Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 48065 / 51138
↖ ↑ ↗
← S 70.499241°
E 84.028931°		 ← 203.89 m → S 70.499241°
E 84.034424°		 →
↑
203.87 m
↓
↑
203.87 m
↓
S 70.501075°
E 84.028931°		 ← 203.87 m →
41 566 m²		 S 70.501075°
E 84.034424°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51138 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.733421325683594 y=0.780311584472656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.733421325683594 × 216)
    floor (0.733421325683594 × 65536)
    floor (48065.5)     		tx = 48065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780311584472656 × 216)
    floor (0.780311584472656 × 65536)
    floor (51138.5)     		ty = 51138
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 48065 / 51138 ti = "16/48065/51138"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/48065/51138.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48065 ÷ 216
    48065 ÷ 65536     		x = 0.733413696289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51138 ÷ 216
    51138 ÷ 65536     		y = 0.780303955078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.733413696289062 × 2 - 1) × π
    0.466827392578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.46658151
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780303955078125 × 2 - 1) × π
    -0.56060791015625 × 3.1415926535     		Φ = -1.76120169204086
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.46658151} λ = 1.46658151}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76120169204086))-π/2
    2×atan(0.171838243051656)-π/2
    2×0.170176222799294-π/2
    0.340352445598588-1.57079632675     		φ = -1.23044388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.46658151} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.028931°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23044388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.499241°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48065 KachelY 51138 1.46658151 -1.23044388 84.028931 -70.499241
    Oben rechts KachelX + 1 48066 KachelY 51138 1.46667738 -1.23044388 84.034424 -70.499241
    Unten links KachelX 48065 KachelY + 1 51139 1.46658151 -1.23047588 84.028931 -70.501075
    Unten rechts KachelX + 1 48066 KachelY + 1 51139 1.46667738 -1.23047588 84.034424 -70.501075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23044388--1.23047588) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dl = 203.872000000204m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23044388--1.23047588) × R
    3.2000000000032e-05 × 6371000     		dr = 203.872000000204m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.46658151-1.46667738) × cos(-1.23044388) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333819342281501 × 6371000     		do = 203.89277165498m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.46658151-1.46667738) × cos(-1.23047588) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.333789177724334 × 6371000     		du = 203.874347512375m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23044388)-sin(-1.23047588))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333819342281501-0.333789177724334)×R²
    abs(1.46667738-1.46658151)×3.01645571670339e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.01645571670339e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.01645571670339e-05×40589641000000     		ar = 41566.149063036m²