Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 48062 / 54374
↖ ↑ ↗
← N 29.291190°
W 47.993774°		 ← 266.32 m → N 29.291190°
W 47.991028°		 →
↑
266.31 m
↓
↑
266.31 m
↓
N 29.288795°
W 47.993774°		 ← 266.33 m →
70 924 m²		 N 29.288795°
W 47.991028°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366687774658203 y=0.414844512939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366687774658203 × 217)
    floor (0.366687774658203 × 131072)
    floor (48062.5)     		tx = 48062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414844512939453 × 217)
    floor (0.414844512939453 × 131072)
    floor (54374.5)     		ty = 54374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48062 / 54374 ti = "17/48062/54374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48062/54374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48062 ÷ 217
    48062 ÷ 131072     		x = 0.366683959960938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54374 ÷ 217
    54374 ÷ 131072     		y = 0.414840698242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366683959960938 × 2 - 1) × π
    -0.266632080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83764938
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414840698242188 × 2 - 1) × π
    0.170318603515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.535071673559067
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83764938} λ = -0.83764938}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.535071673559067))-π/2
    2×atan(1.70757062553243)-π/2
    2×1.04101201564229-π/2
    2.08202403128459-1.57079632675     		φ = 0.51122770
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83764938} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.993774°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51122770 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.291190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48062 KachelY 54374 -0.83764938 0.51122770 -47.993774 29.291190
    Oben rechts KachelX + 1 48063 KachelY 54374 -0.83760145 0.51122770 -47.991028 29.291190
    Unten links KachelX 48062 KachelY + 1 54375 -0.83764938 0.51118590 -47.993774 29.288795
    Unten rechts KachelX + 1 48063 KachelY + 1 54375 -0.83760145 0.51118590 -47.991028 29.288795
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51122770-0.51118590) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dl = 266.307799999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51122770-0.51118590) × R
    4.17999999999807e-05 × 6371000     		dr = 266.307799999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83764938--0.83760145) × cos(0.51122770) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.872144514869497 × 6371000     		do = 266.319819514078m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83764938--0.83760145) × cos(0.51118590) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.872164964688478 × 6371000     		du = 266.326064112315m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51122770)-sin(0.51118590))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872144514869497-0.872164964688478)×R²
    abs(-0.83760145--0.83764938)×2.04498189817492e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.04498189817492e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.04498189817492e-05×40589641000000     		ar = 70923.8767341407m²