Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 48060 / 56244
↖ ↑ ↗
← N 24.716896°
W 47.999268°		 ← 277.44 m → N 24.716896°
W 47.996521°		 →
↑
277.46 m
↓
↑
277.46 m
↓
N 24.714400°
W 47.999268°		 ← 277.45 m →
76 980 m²		 N 24.714400°
W 47.996521°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 48060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 56244 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366672515869141 y=0.429111480712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366672515869141 × 217)
    floor (0.366672515869141 × 131072)
    floor (48060.5)     		tx = 48060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429111480712891 × 217)
    floor (0.429111480712891 × 131072)
    floor (56244.5)     		ty = 56244
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 48060 / 56244 ti = "17/48060/56244"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/48060/56244.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 48060 ÷ 217
    48060 ÷ 131072     		x = 0.366668701171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 56244 ÷ 217
    56244 ÷ 131072     		y = 0.429107666015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366668701171875 × 2 - 1) × π
    -0.26666259765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83774526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429107666015625 × 2 - 1) × π
    0.14178466796875 × 3.1415926535     		Φ = 0.445429671269562
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83774526} λ = -0.83774526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.445429671269562))-π/2
    2×atan(1.5611608377037)-π/2
    2×1.00109376667965-π/2
    2.0021875333593-1.57079632675     		φ = 0.43139121
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83774526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.999268°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43139121 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.716896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 48060 KachelY 56244 -0.83774526 0.43139121 -47.999268 24.716896
    Oben rechts KachelX + 1 48061 KachelY 56244 -0.83769732 0.43139121 -47.996521 24.716896
    Unten links KachelX 48060 KachelY + 1 56245 -0.83774526 0.43134766 -47.999268 24.714400
    Unten rechts KachelX + 1 48061 KachelY + 1 56245 -0.83769732 0.43134766 -47.996521 24.714400
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43139121-0.43134766) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dl = 277.457050000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43139121-0.43134766) × R
    4.35500000000033e-05 × 6371000     		dr = 277.457050000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83774526--0.83769732) × cos(0.43139121) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.908384915397242 × 6371000     		do = 277.444134990501m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83774526--0.83769732) × cos(0.43134766) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.908403124313359 × 6371000     		du = 277.44969646218m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43139121)-sin(0.43134766))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908384915397242-0.908403124313359)×R²
    abs(-0.83769732--0.83774526)×1.8208916116369e-05×R²
    4.79400000000796e-05×1.8208916116369e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×1.8208916116369e-05×40589641000000     		ar = 76979.6027811729m²